$$$x$$$에 대한 $$$x \sin{\left(p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \right)}$$$의 적분

$$$\int x \sin{\left(p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$v=- u^{2} + x^{2}$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(- u^{2} + x^{2}\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$x dx = \frac{dv}{2}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{x \sin{\left(p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(p \sqrt{v} \right)}}{2} d v}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(v \right)} = \sin{\left(p \sqrt{v} \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(p \sqrt{v} \right)}}{2} d v}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(p \sqrt{v} \right)} d v}}{2}\right)}}$$

$$$w=p \sqrt{v}$$$라 하자.

그러면 $$$dw=\left(p \sqrt{v}\right)^{\prime }dv = \frac{p}{2 \sqrt{v}} dv$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\frac{dv}{\sqrt{v}} = \frac{2 dw}{p}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(p \sqrt{v} \right)} d v}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{2 w \sin{\left(w \right)}}{p^{2}} d w}}}}{2}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$을 $$$c=\frac{2}{p^{2}}$$$와 $$$f{\left(w \right)} = w \sin{\left(w \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{2 w \sin{\left(w \right)}}{p^{2}} d w}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{2 \int{w \sin{\left(w \right)} d w}}{p^{2}}\right)}}}{2}$$

적분 $$$\int{w \sin{\left(w \right)} d w}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{h} \operatorname{dm} = \operatorname{h}\operatorname{m} - \int \operatorname{m} \operatorname{dh}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{h}=w$$$와 $$$\operatorname{dm}=\sin{\left(w \right)} dw$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{dh}=\left(w\right)^{\prime }dw=1 dw$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{m}=\int{\sin{\left(w \right)} d w}=- \cos{\left(w \right)}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$\frac{{\color{red}{\int{w \sin{\left(w \right)} d w}}}}{p^{2}}=\frac{{\color{red}{\left(w \cdot \left(- \cos{\left(w \right)}\right)-\int{\left(- \cos{\left(w \right)}\right) \cdot 1 d w}\right)}}}{p^{2}}=\frac{{\color{red}{\left(- w \cos{\left(w \right)} - \int{\left(- \cos{\left(w \right)}\right)d w}\right)}}}{p^{2}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(w \right)}\, dw = c \int f{\left(w \right)}\, dw$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(w \right)} = \cos{\left(w \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{- w \cos{\left(w \right)} - {\color{red}{\int{\left(- \cos{\left(w \right)}\right)d w}}}}{p^{2}} = \frac{- w \cos{\left(w \right)} - {\color{red}{\left(- \int{\cos{\left(w \right)} d w}\right)}}}{p^{2}}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(w \right)} d w} = \sin{\left(w \right)}$$$:

$$\frac{- w \cos{\left(w \right)} + {\color{red}{\int{\cos{\left(w \right)} d w}}}}{p^{2}} = \frac{- w \cos{\left(w \right)} + {\color{red}{\sin{\left(w \right)}}}}{p^{2}}$$

다음 $$$w=p \sqrt{v}$$$을 기억하라:

$$\frac{\sin{\left({\color{red}{w}} \right)} - {\color{red}{w}} \cos{\left({\color{red}{w}} \right)}}{p^{2}} = \frac{\sin{\left({\color{red}{p \sqrt{v}}} \right)} - {\color{red}{p \sqrt{v}}} \cos{\left({\color{red}{p \sqrt{v}}} \right)}}{p^{2}}$$

다음 $$$v=- u^{2} + x^{2}$$$을 기억하라:

$$\frac{- p \sqrt{{\color{red}{v}}} \cos{\left(p \sqrt{{\color{red}{v}}} \right)} + \sin{\left(p \sqrt{{\color{red}{v}}} \right)}}{p^{2}} = \frac{- p \sqrt{{\color{red}{\left(- u^{2} + x^{2}\right)}}} \cos{\left(p \sqrt{{\color{red}{\left(- u^{2} + x^{2}\right)}}} \right)} + \sin{\left(p \sqrt{{\color{red}{\left(- u^{2} + x^{2}\right)}}} \right)}}{p^{2}}$$

따라서,

$$\int{x \sin{\left(p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \right)} d x} = \frac{- p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \cos{\left(p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \right)} + \sin{\left(p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \right)}}{p^{2}}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{x \sin{\left(p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \right)} d x} = \frac{- p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \cos{\left(p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \right)} + \sin{\left(p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \right)}}{p^{2}}+C$$

$$$\int x \sin{\left(p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \right)}\, dx = \frac{- p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \cos{\left(p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \right)} + \sin{\left(p \sqrt{- u^{2} + x^{2}} \right)}}{p^{2}} + C$$$A