$$$x \operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)}$$$의 적분

$$$\int x \operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

적분 $$$\int{x \operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=\operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)}$$$와 $$$\operatorname{dv}=x dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(\operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{4 x}{\sqrt{2 - x^{4}}} dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{x d x}=\frac{x^{2}}{2}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

적분은 다음과 같이 됩니다.

$${\color{red}{\int{x \operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)} d x}}}={\color{red}{\left(\operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)} \cdot \frac{x^{2}}{2}-\int{\frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{4 x}{\sqrt{2 - x^{4}}} d x}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{x^{2} \operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)}}{2} - \int{\frac{2 x^{3}}{\sqrt{2 - x^{4}}} d x}\right)}}$$

$$$u=2 - x^{4}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(2 - x^{4}\right)^{\prime }dx = - 4 x^{3} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$x^{3} dx = - \frac{du}{4}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{x^{2} \operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{2 x^{3}}{\sqrt{2 - x^{4}}} d x}}} = \frac{x^{2} \operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)}}{2} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=- \frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{u}}$$$에 적용하세요:

$$\frac{x^{2} \operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)}}{2} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)d u}}} = \frac{x^{2} \operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)}}{2} - {\color{red}{\left(- \frac{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}{2}\right)}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=- \frac{1}{2}$$$에 적용합니다:

$$\frac{x^{2} \operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{u}} d u}}}}{2}=\frac{x^{2} \operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{u^{- \frac{1}{2}} d u}}}}{2}=\frac{x^{2} \operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\frac{u^{- \frac{1}{2} + 1}}{- \frac{1}{2} + 1}}}}{2}=\frac{x^{2} \operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(2 u^{\frac{1}{2}}\right)}}}{2}=\frac{x^{2} \operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(2 \sqrt{u}\right)}}}{2}$$

다음 $$$u=2 - x^{4}$$$을 기억하라:

$$\frac{x^{2} \operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)}}{2} + \sqrt{{\color{red}{u}}} = \frac{x^{2} \operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)}}{2} + \sqrt{{\color{red}{\left(2 - x^{4}\right)}}}$$

따라서,

$$\int{x \operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)} d x} = \frac{x^{2} \operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)}}{2} + \sqrt{2 - x^{4}}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{x \operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)} d x} = \frac{x^{2} \operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)}}{2} + \sqrt{2 - x^{4}}+C$$

$$$\int x \operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)}\, dx = \left(\frac{x^{2} \operatorname{acos}{\left(1 - x^{4} \right)}}{2} + \sqrt{2 - x^{4}}\right) + C$$$A