$$$x^{3} e^{- 7 x}$$$의 적분

$$$\int x^{3} e^{- 7 x}\, dx$$$을(를) 구하시오.

적분 $$$\int{x^{3} e^{- 7 x} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=x^{3}$$$와 $$$\operatorname{dv}=e^{- 7 x} dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(x^{3}\right)^{\prime }dx=3 x^{2} dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- 7 x} d x}=- \frac{e^{- 7 x}}{7}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$${\color{red}{\int{x^{3} e^{- 7 x} d x}}}={\color{red}{\left(x^{3} \cdot \left(- \frac{e^{- 7 x}}{7}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 7 x}}{7}\right) \cdot 3 x^{2} d x}\right)}}={\color{red}{\left(- \frac{x^{3} e^{- 7 x}}{7} - \int{\left(- \frac{3 x^{2} e^{- 7 x}}{7}\right)d x}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=- \frac{3}{7}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x^{2} e^{- 7 x}$$$에 적용하세요:

$$- \frac{x^{3} e^{- 7 x}}{7} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{3 x^{2} e^{- 7 x}}{7}\right)d x}}} = - \frac{x^{3} e^{- 7 x}}{7} - {\color{red}{\left(- \frac{3 \int{x^{2} e^{- 7 x} d x}}{7}\right)}}$$

적분 $$$\int{x^{2} e^{- 7 x} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=x^{2}$$$와 $$$\operatorname{dv}=e^{- 7 x} dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- 7 x} d x}=- \frac{e^{- 7 x}}{7}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$- \frac{x^{3} e^{- 7 x}}{7} + \frac{3 {\color{red}{\int{x^{2} e^{- 7 x} d x}}}}{7}=- \frac{x^{3} e^{- 7 x}}{7} + \frac{3 {\color{red}{\left(x^{2} \cdot \left(- \frac{e^{- 7 x}}{7}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 7 x}}{7}\right) \cdot 2 x d x}\right)}}}{7}=- \frac{x^{3} e^{- 7 x}}{7} + \frac{3 {\color{red}{\left(- \frac{x^{2} e^{- 7 x}}{7} - \int{\left(- \frac{2 x e^{- 7 x}}{7}\right)d x}\right)}}}{7}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=- \frac{2}{7}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x e^{- 7 x}$$$에 적용하세요:

$$- \frac{x^{3} e^{- 7 x}}{7} - \frac{3 x^{2} e^{- 7 x}}{49} - \frac{3 {\color{red}{\int{\left(- \frac{2 x e^{- 7 x}}{7}\right)d x}}}}{7} = - \frac{x^{3} e^{- 7 x}}{7} - \frac{3 x^{2} e^{- 7 x}}{49} - \frac{3 {\color{red}{\left(- \frac{2 \int{x e^{- 7 x} d x}}{7}\right)}}}{7}$$

적분 $$$\int{x e^{- 7 x} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=x$$$와 $$$\operatorname{dv}=e^{- 7 x} dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- 7 x} d x}=- \frac{e^{- 7 x}}{7}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$- \frac{x^{3} e^{- 7 x}}{7} - \frac{3 x^{2} e^{- 7 x}}{49} + \frac{6 {\color{red}{\int{x e^{- 7 x} d x}}}}{49}=- \frac{x^{3} e^{- 7 x}}{7} - \frac{3 x^{2} e^{- 7 x}}{49} + \frac{6 {\color{red}{\left(x \cdot \left(- \frac{e^{- 7 x}}{7}\right)-\int{\left(- \frac{e^{- 7 x}}{7}\right) \cdot 1 d x}\right)}}}{49}=- \frac{x^{3} e^{- 7 x}}{7} - \frac{3 x^{2} e^{- 7 x}}{49} + \frac{6 {\color{red}{\left(- \frac{x e^{- 7 x}}{7} - \int{\left(- \frac{e^{- 7 x}}{7}\right)d x}\right)}}}{49}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=- \frac{1}{7}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = e^{- 7 x}$$$에 적용하세요:

$$- \frac{x^{3} e^{- 7 x}}{7} - \frac{3 x^{2} e^{- 7 x}}{49} - \frac{6 x e^{- 7 x}}{343} - \frac{6 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{- 7 x}}{7}\right)d x}}}}{49} = - \frac{x^{3} e^{- 7 x}}{7} - \frac{3 x^{2} e^{- 7 x}}{49} - \frac{6 x e^{- 7 x}}{343} - \frac{6 {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{- 7 x} d x}}{7}\right)}}}{49}$$

$$$u=- 7 x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(- 7 x\right)^{\prime }dx = - 7 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = - \frac{du}{7}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$- \frac{x^{3} e^{- 7 x}}{7} - \frac{3 x^{2} e^{- 7 x}}{49} - \frac{6 x e^{- 7 x}}{343} + \frac{6 {\color{red}{\int{e^{- 7 x} d x}}}}{343} = - \frac{x^{3} e^{- 7 x}}{7} - \frac{3 x^{2} e^{- 7 x}}{49} - \frac{6 x e^{- 7 x}}{343} + \frac{6 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{7}\right)d u}}}}{343}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=- \frac{1}{7}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$에 적용하세요:

$$- \frac{x^{3} e^{- 7 x}}{7} - \frac{3 x^{2} e^{- 7 x}}{49} - \frac{6 x e^{- 7 x}}{343} + \frac{6 {\color{red}{\int{\left(- \frac{e^{u}}{7}\right)d u}}}}{343} = - \frac{x^{3} e^{- 7 x}}{7} - \frac{3 x^{2} e^{- 7 x}}{49} - \frac{6 x e^{- 7 x}}{343} + \frac{6 {\color{red}{\left(- \frac{\int{e^{u} d u}}{7}\right)}}}{343}$$

지수 함수의 적분은 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$입니다:

$$- \frac{x^{3} e^{- 7 x}}{7} - \frac{3 x^{2} e^{- 7 x}}{49} - \frac{6 x e^{- 7 x}}{343} - \frac{6 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{2401} = - \frac{x^{3} e^{- 7 x}}{7} - \frac{3 x^{2} e^{- 7 x}}{49} - \frac{6 x e^{- 7 x}}{343} - \frac{6 {\color{red}{e^{u}}}}{2401}$$

다음 $$$u=- 7 x$$$을 기억하라:

$$- \frac{x^{3} e^{- 7 x}}{7} - \frac{3 x^{2} e^{- 7 x}}{49} - \frac{6 x e^{- 7 x}}{343} - \frac{6 e^{{\color{red}{u}}}}{2401} = - \frac{x^{3} e^{- 7 x}}{7} - \frac{3 x^{2} e^{- 7 x}}{49} - \frac{6 x e^{- 7 x}}{343} - \frac{6 e^{{\color{red}{\left(- 7 x\right)}}}}{2401}$$

따라서,

$$\int{x^{3} e^{- 7 x} d x} = - \frac{x^{3} e^{- 7 x}}{7} - \frac{3 x^{2} e^{- 7 x}}{49} - \frac{6 x e^{- 7 x}}{343} - \frac{6 e^{- 7 x}}{2401}$$

간단히 하시오:

$$\int{x^{3} e^{- 7 x} d x} = \frac{\left(- 343 x^{3} - 147 x^{2} - 42 x - 6\right) e^{- 7 x}}{2401}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{x^{3} e^{- 7 x} d x} = \frac{\left(- 343 x^{3} - 147 x^{2} - 42 x - 6\right) e^{- 7 x}}{2401}+C$$

$$$\int x^{3} e^{- 7 x}\, dx = \frac{\left(- 343 x^{3} - 147 x^{2} - 42 x - 6\right) e^{- 7 x}}{2401} + C$$$A