$$$x$$$에 대한 $$$\frac{x^{3}}{m^{2} + 4 x^{2}}$$$의 적분

$$$\int \frac{x^{3}}{m^{2} + 4 x^{2}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

분자의 차수가 분모의 차수보다 작지 않으므로, 다항식의 긴 나눗셈을 수행하십시오.:

$${\color{red}{\int{\frac{x^{3}}{m^{2} + 4 x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{m^{2} x}{4 \left(m^{2} + 4 x^{2}\right)} + \frac{x}{4}\right)d x}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{m^{2} x}{4 \left(m^{2} + 4 x^{2}\right)} + \frac{x}{4}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\frac{x}{4} d x} - \int{\frac{m^{2} x}{4 \left(m^{2} + 4 x^{2}\right)} d x}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{4}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x$$$에 적용하세요:

$$- \int{\frac{m^{2} x}{4 \left(m^{2} + 4 x^{2}\right)} d x} + {\color{red}{\int{\frac{x}{4} d x}}} = - \int{\frac{m^{2} x}{4 \left(m^{2} + 4 x^{2}\right)} d x} + {\color{red}{\left(\frac{\int{x d x}}{4}\right)}}$$

멱법칙($$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=1$$$에 적용합니다:

$$- \int{\frac{m^{2} x}{4 \left(m^{2} + 4 x^{2}\right)} d x} + \frac{{\color{red}{\int{x d x}}}}{4}=- \int{\frac{m^{2} x}{4 \left(m^{2} + 4 x^{2}\right)} d x} + \frac{{\color{red}{\frac{x^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{4}=- \int{\frac{m^{2} x}{4 \left(m^{2} + 4 x^{2}\right)} d x} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{x^{2}}{2}\right)}}}{4}$$

$$$u=4 m^{2} + 16 x^{2}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(4 m^{2} + 16 x^{2}\right)^{\prime }dx = 32 x dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$x dx = \frac{du}{32}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$\frac{x^{2}}{8} - {\color{red}{\int{\frac{m^{2} x}{4 \left(m^{2} + 4 x^{2}\right)} d x}}} = \frac{x^{2}}{8} - {\color{red}{\int{\frac{m^{2}}{32 u} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{m^{2}}{32}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$에 적용하세요:

$$\frac{x^{2}}{8} - {\color{red}{\int{\frac{m^{2}}{32 u} d u}}} = \frac{x^{2}}{8} - {\color{red}{\left(\frac{m^{2} \int{\frac{1}{u} d u}}{32}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$- \frac{m^{2} {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{32} + \frac{x^{2}}{8} = - \frac{m^{2} {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{32} + \frac{x^{2}}{8}$$

다음 $$$u=4 m^{2} + 16 x^{2}$$$을 기억하라:

$$- \frac{m^{2} \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{32} + \frac{x^{2}}{8} = - \frac{m^{2} \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(4 m^{2} + 16 x^{2}\right)}}}\right| \right)}}{32} + \frac{x^{2}}{8}$$

따라서,

$$\int{\frac{x^{3}}{m^{2} + 4 x^{2}} d x} = - \frac{m^{2} \ln{\left(4 m^{2} + 16 x^{2} \right)}}{32} + \frac{x^{2}}{8}$$

간단히 하시오:

$$\int{\frac{x^{3}}{m^{2} + 4 x^{2}} d x} = - \frac{m^{2} \left(\ln{\left(m^{2} + 4 x^{2} \right)} + 2 \ln{\left(2 \right)}\right)}{32} + \frac{x^{2}}{8}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{x^{3}}{m^{2} + 4 x^{2}} d x} = - \frac{m^{2} \left(\ln{\left(m^{2} + 4 x^{2} \right)} + 2 \ln{\left(2 \right)}\right)}{32} + \frac{x^{2}}{8}+C$$

$$$\int \frac{x^{3}}{m^{2} + 4 x^{2}}\, dx = \left(- \frac{m^{2} \left(\ln\left(m^{2} + 4 x^{2}\right) + 2 \ln\left(2\right)\right)}{32} + \frac{x^{2}}{8}\right) + C$$$A