$$$x$$$에 대한 $$$\frac{x^{2}}{\left(c - x\right)^{2}}$$$의 적분

$$$\int \frac{x^{2}}{\left(c - x\right)^{2}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

분자의 차수가 분모의 차수보다 작지 않으므로, 다항식의 긴 나눗셈을 수행하십시오.:

$${\color{red}{\int{\frac{x^{2}}{\left(c - x\right)^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(1 + \frac{- c^{2} + 2 c x}{\left(c - x\right)^{2}}\right)d x}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(1 + \frac{- c^{2} + 2 c x}{\left(c - x\right)^{2}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{1 d x} + \int{\frac{- c^{2} + 2 c x}{\left(c - x\right)^{2}} d x}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dx = c x$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$\int{\frac{- c^{2} + 2 c x}{\left(c - x\right)^{2}} d x} + {\color{red}{\int{1 d x}}} = \int{\frac{- c^{2} + 2 c x}{\left(c - x\right)^{2}} d x} + {\color{red}{x}}$$

피적분함수를 단순화하세요.:

$$x + {\color{red}{\int{\frac{- c^{2} + 2 c x}{\left(c - x\right)^{2}} d x}}} = x + {\color{red}{\int{\frac{c \left(- c + 2 x\right)}{\left(c - x\right)^{2}} d x}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=c$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \frac{- c + 2 x}{\left(c - x\right)^{2}}$$$에 적용하세요:

$$x + {\color{red}{\int{\frac{c \left(- c + 2 x\right)}{\left(c - x\right)^{2}} d x}}} = x + {\color{red}{c \int{\frac{- c + 2 x}{\left(c - x\right)^{2}} d x}}}$$

피적분함수의 분자를 $$$- c + 2 x=-2\left(c - x\right)+c$$$로 다시 쓰고 분수를 분해하세요:

$$c {\color{red}{\int{\frac{- c + 2 x}{\left(c - x\right)^{2}} d x}}} + x = c {\color{red}{\int{\left(\frac{c}{\left(c - x\right)^{2}} - \frac{2}{c - x}\right)d x}}} + x$$

각 항별로 적분하십시오:

$$c {\color{red}{\int{\left(\frac{c}{\left(c - x\right)^{2}} - \frac{2}{c - x}\right)d x}}} + x = c {\color{red}{\left(\int{\frac{c}{\left(c - x\right)^{2}} d x} - \int{\frac{2}{c - x} d x}\right)}} + x$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{c - x}$$$에 적용하세요:

$$c \left(\int{\frac{c}{\left(c - x\right)^{2}} d x} - {\color{red}{\int{\frac{2}{c - x} d x}}}\right) + x = c \left(\int{\frac{c}{\left(c - x\right)^{2}} d x} - {\color{red}{\left(2 \int{\frac{1}{c - x} d x}\right)}}\right) + x$$

$$$u=c - x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(c - x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = - du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$c \left(\int{\frac{c}{\left(c - x\right)^{2}} d x} - 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{c - x} d x}}}\right) + x = c \left(\int{\frac{c}{\left(c - x\right)^{2}} d x} - 2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}}\right) + x$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$에 적용하세요:

$$c \left(\int{\frac{c}{\left(c - x\right)^{2}} d x} - 2 {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}}\right) + x = c \left(\int{\frac{c}{\left(c - x\right)^{2}} d x} - 2 {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u} d u}\right)}}\right) + x$$

$$$\frac{1}{u}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$c \left(\int{\frac{c}{\left(c - x\right)^{2}} d x} + 2 {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}\right) + x = c \left(\int{\frac{c}{\left(c - x\right)^{2}} d x} + 2 {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}\right) + x$$

다음 $$$u=c - x$$$을 기억하라:

$$c \left(2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} + \int{\frac{c}{\left(c - x\right)^{2}} d x}\right) + x = c \left(2 \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(c - x\right)}}}\right| \right)} + \int{\frac{c}{\left(c - x\right)^{2}} d x}\right) + x$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=c$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{\left(c - x\right)^{2}}$$$에 적용하세요:

$$c \left(2 \ln{\left(\left|{c - x}\right| \right)} + {\color{red}{\int{\frac{c}{\left(c - x\right)^{2}} d x}}}\right) + x = c \left(2 \ln{\left(\left|{c - x}\right| \right)} + {\color{red}{c \int{\frac{1}{\left(c - x\right)^{2}} d x}}}\right) + x$$

$$$u=c - x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(c - x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = - du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$c \left(c {\color{red}{\int{\frac{1}{\left(c - x\right)^{2}} d x}}} + 2 \ln{\left(\left|{c - x}\right| \right)}\right) + x = c \left(c {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u^{2}}\right)d u}}} + 2 \ln{\left(\left|{c - x}\right| \right)}\right) + x$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2}}$$$에 적용하세요:

$$c \left(c {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u^{2}}\right)d u}}} + 2 \ln{\left(\left|{c - x}\right| \right)}\right) + x = c \left(c {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u^{2}} d u}\right)}} + 2 \ln{\left(\left|{c - x}\right| \right)}\right) + x$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=-2$$$에 적용합니다:

$$c \left(- c {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2}} d u}}} + 2 \ln{\left(\left|{c - x}\right| \right)}\right) + x=c \left(- c {\color{red}{\int{u^{-2} d u}}} + 2 \ln{\left(\left|{c - x}\right| \right)}\right) + x=c \left(- c {\color{red}{\frac{u^{-2 + 1}}{-2 + 1}}} + 2 \ln{\left(\left|{c - x}\right| \right)}\right) + x=c \left(- c {\color{red}{\left(- u^{-1}\right)}} + 2 \ln{\left(\left|{c - x}\right| \right)}\right) + x=c \left(- c {\color{red}{\left(- \frac{1}{u}\right)}} + 2 \ln{\left(\left|{c - x}\right| \right)}\right) + x$$

다음 $$$u=c - x$$$을 기억하라:

$$c \left(c {\color{red}{u}}^{-1} + 2 \ln{\left(\left|{c - x}\right| \right)}\right) + x = c \left(c {\color{red}{\left(c - x\right)}}^{-1} + 2 \ln{\left(\left|{c - x}\right| \right)}\right) + x$$

따라서,

$$\int{\frac{x^{2}}{\left(c - x\right)^{2}} d x} = c \left(\frac{c}{c - x} + 2 \ln{\left(\left|{c - x}\right| \right)}\right) + x$$

간단히 하시오:

$$\int{\frac{x^{2}}{\left(c - x\right)^{2}} d x} = \frac{- c \left(c - 2 \left(- c + x\right) \ln{\left(\left|{c - x}\right| \right)}\right) + x \left(- c + x\right)}{- c + x}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{x^{2}}{\left(c - x\right)^{2}} d x} = \frac{- c \left(c - 2 \left(- c + x\right) \ln{\left(\left|{c - x}\right| \right)}\right) + x \left(- c + x\right)}{- c + x}+C$$

$$$\int \frac{x^{2}}{\left(c - x\right)^{2}}\, dx = \frac{- c \left(c - 2 \left(- c + x\right) \ln\left(\left|{c - x}\right|\right)\right) + x \left(- c + x\right)}{- c + x} + C$$$A