$$$x^{3} e^{- x} \sin{\left(2 \right)}$$$의 적분

$$$\int x^{3} e^{- x} \sin{\left(2 \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\sin{\left(2 \right)}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x^{3} e^{- x}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{x^{3} e^{- x} \sin{\left(2 \right)} d x}}} = {\color{red}{\sin{\left(2 \right)} \int{x^{3} e^{- x} d x}}}$$

적분 $$$\int{x^{3} e^{- x} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=x^{3}$$$와 $$$\operatorname{dv}=e^{- x} dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(x^{3}\right)^{\prime }dx=3 x^{2} dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- x} d x}=- e^{- x}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$\sin{\left(2 \right)} {\color{red}{\int{x^{3} e^{- x} d x}}}=\sin{\left(2 \right)} {\color{red}{\left(x^{3} \cdot \left(- e^{- x}\right)-\int{\left(- e^{- x}\right) \cdot 3 x^{2} d x}\right)}}=\sin{\left(2 \right)} {\color{red}{\left(- x^{3} e^{- x} - \int{\left(- 3 x^{2} e^{- x}\right)d x}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=-3$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x^{2} e^{- x}$$$에 적용하세요:

$$\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - {\color{red}{\int{\left(- 3 x^{2} e^{- x}\right)d x}}}\right) = \sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - {\color{red}{\left(- 3 \int{x^{2} e^{- x} d x}\right)}}\right)$$

적분 $$$\int{x^{2} e^{- x} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=x^{2}$$$와 $$$\operatorname{dv}=e^{- x} dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(x^{2}\right)^{\prime }dx=2 x dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- x} d x}=- e^{- x}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} + 3 {\color{red}{\int{x^{2} e^{- x} d x}}}\right)=\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} + 3 {\color{red}{\left(x^{2} \cdot \left(- e^{- x}\right)-\int{\left(- e^{- x}\right) \cdot 2 x d x}\right)}}\right)=\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} + 3 {\color{red}{\left(- x^{2} e^{- x} - \int{\left(- 2 x e^{- x}\right)d x}\right)}}\right)$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=-2$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x e^{- x}$$$에 적용하세요:

$$\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 3 {\color{red}{\int{\left(- 2 x e^{- x}\right)d x}}}\right) = \sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 3 {\color{red}{\left(- 2 \int{x e^{- x} d x}\right)}}\right)$$

적분 $$$\int{x e^{- x} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=x$$$와 $$$\operatorname{dv}=e^{- x} dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- x} d x}=- e^{- x}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} + 6 {\color{red}{\int{x e^{- x} d x}}}\right)=\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} + 6 {\color{red}{\left(x \cdot \left(- e^{- x}\right)-\int{\left(- e^{- x}\right) \cdot 1 d x}\right)}}\right)=\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} + 6 {\color{red}{\left(- x e^{- x} - \int{\left(- e^{- x}\right)d x}\right)}}\right)$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(x \right)} = e^{- x}$$$에 적용하세요:

$$\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} - 6 {\color{red}{\int{\left(- e^{- x}\right)d x}}}\right) = \sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} - 6 {\color{red}{\left(- \int{e^{- x} d x}\right)}}\right)$$

$$$u=- x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(- x\right)^{\prime }dx = - dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = - du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} + 6 {\color{red}{\int{e^{- x} d x}}}\right) = \sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} + 6 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}\right)$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$에 적용하세요:

$$\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} + 6 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}\right) = \sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} + 6 {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}\right)$$

지수 함수의 적분은 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$입니다:

$$\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} - 6 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}\right) = \sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} - 6 {\color{red}{e^{u}}}\right)$$

다음 $$$u=- x$$$을 기억하라:

$$\sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} - 6 e^{{\color{red}{u}}}\right) = \sin{\left(2 \right)} \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} - 6 e^{{\color{red}{\left(- x\right)}}}\right)$$

따라서,

$$\int{x^{3} e^{- x} \sin{\left(2 \right)} d x} = \left(- x^{3} e^{- x} - 3 x^{2} e^{- x} - 6 x e^{- x} - 6 e^{- x}\right) \sin{\left(2 \right)}$$

간단히 하시오:

$$\int{x^{3} e^{- x} \sin{\left(2 \right)} d x} = - \left(x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 6\right) e^{- x} \sin{\left(2 \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{x^{3} e^{- x} \sin{\left(2 \right)} d x} = - \left(x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 6\right) e^{- x} \sin{\left(2 \right)}+C$$

$$$\int x^{3} e^{- x} \sin{\left(2 \right)}\, dx = - \left(x^{3} + 3 x^{2} + 6 x + 6\right) e^{- x} \sin{\left(2 \right)} + C$$$A