$$$\frac{x}{\left(64 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$$$의 적분

$$$\int \frac{x}{\left(64 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=64 - x^{2}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(64 - x^{2}\right)^{\prime }dx = - 2 x dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$x dx = - \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$${\color{red}{\int{\frac{x}{\left(64 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=- \frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 u^{\frac{3}{2}}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u}}{2}\right)}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=- \frac{3}{2}$$$에 적용합니다:

$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u^{\frac{3}{2}}} d u}}}}{2}=- \frac{{\color{red}{\int{u^{- \frac{3}{2}} d u}}}}{2}=- \frac{{\color{red}{\frac{u^{- \frac{3}{2} + 1}}{- \frac{3}{2} + 1}}}}{2}=- \frac{{\color{red}{\left(- 2 u^{- \frac{1}{2}}\right)}}}{2}=- \frac{{\color{red}{\left(- \frac{2}{\sqrt{u}}\right)}}}{2}$$

다음 $$$u=64 - x^{2}$$$을 기억하라:

$$\frac{1}{\sqrt{{\color{red}{u}}}} = \frac{1}{\sqrt{{\color{red}{\left(64 - x^{2}\right)}}}}$$

따라서,

$$\int{\frac{x}{\left(64 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} d x} = \frac{1}{\sqrt{64 - x^{2}}}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{x}{\left(64 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} d x} = \frac{1}{\sqrt{64 - x^{2}}}+C$$

$$$\int \frac{x}{\left(64 - x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}\, dx = \frac{1}{\sqrt{64 - x^{2}}} + C$$$A