$$$\frac{x}{1 - x^{2}}$$$의 적분

$$$\int \frac{x}{1 - x^{2}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=1 - x^{2}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(1 - x^{2}\right)^{\prime }dx = - 2 x dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$x dx = - \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{x}{1 - x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 u}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=- \frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{2}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$- \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} = - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2}$$

다음 $$$u=1 - x^{2}$$$을 기억하라:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} = - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(1 - x^{2}\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

따라서,

$$\int{\frac{x}{1 - x^{2}} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} - 1}\right| \right)}}{2}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{x}{1 - x^{2}} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{x^{2} - 1}\right| \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{x}{1 - x^{2}}\, dx = - \frac{\ln\left(\left|{x^{2} - 1}\right|\right)}{2} + C$$$A