$$$x \left(2 x - 1\right)^{7}$$$의 적분

$$$\int x \left(2 x - 1\right)^{7}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=2 x - 1$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(2 x - 1\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{x \left(2 x - 1\right)^{7} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{u^{7} \left(u + 1\right)}{4} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{4}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = u^{7} \left(u + 1\right)$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{u^{7} \left(u + 1\right)}{4} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{u^{7} \left(u + 1\right) d u}}{4}\right)}}$$

Expand the expression:

$$\frac{{\color{red}{\int{u^{7} \left(u + 1\right) d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\int{\left(u^{8} + u^{7}\right)d u}}}}{4}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(u^{8} + u^{7}\right)d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\left(\int{u^{7} d u} + \int{u^{8} d u}\right)}}}{4}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=7$$$에 적용합니다:

$$\frac{\int{u^{8} d u}}{4} + \frac{{\color{red}{\int{u^{7} d u}}}}{4}=\frac{\int{u^{8} d u}}{4} + \frac{{\color{red}{\frac{u^{1 + 7}}{1 + 7}}}}{4}=\frac{\int{u^{8} d u}}{4} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{u^{8}}{8}\right)}}}{4}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=8$$$에 적용합니다:

$$\frac{u^{8}}{32} + \frac{{\color{red}{\int{u^{8} d u}}}}{4}=\frac{u^{8}}{32} + \frac{{\color{red}{\frac{u^{1 + 8}}{1 + 8}}}}{4}=\frac{u^{8}}{32} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{u^{9}}{9}\right)}}}{4}$$

다음 $$$u=2 x - 1$$$을 기억하라:

$$\frac{{\color{red}{u}}^{8}}{32} + \frac{{\color{red}{u}}^{9}}{36} = \frac{{\color{red}{\left(2 x - 1\right)}}^{8}}{32} + \frac{{\color{red}{\left(2 x - 1\right)}}^{9}}{36}$$

따라서,

$$\int{x \left(2 x - 1\right)^{7} d x} = \frac{\left(2 x - 1\right)^{9}}{36} + \frac{\left(2 x - 1\right)^{8}}{32}$$

간단히 하시오:

$$\int{x \left(2 x - 1\right)^{7} d x} = \frac{\left(2 x - 1\right)^{8} \left(16 x + 1\right)}{288}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{x \left(2 x - 1\right)^{7} d x} = \frac{\left(2 x - 1\right)^{8} \left(16 x + 1\right)}{288}+C$$

$$$\int x \left(2 x - 1\right)^{7}\, dx = \frac{\left(2 x - 1\right)^{8} \left(16 x + 1\right)}{288} + C$$$A