$$$\cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}$$$의 적분

$$$\int \cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=x + \frac{\pi}{4}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(x + \frac{\pi}{4}\right)^{\prime }dx = 1 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\cot{\left(u \right)} d u}}}$$

코탄젠트를 $$$\cot\left( u \right)=\frac{\cos\left( u \right)}{\sin\left( u \right)}$$$의 형태로 다시 쓰십시오:

$${\color{red}{\int{\cot{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}} d u}}}$$

$$$v=\sin{\left(u \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(\sin{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \cos{\left(u \right)} du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\cos{\left(u \right)} du = dv$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{\sin{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}} = {\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}$$

다음 $$$v=\sin{\left(u \right)}$$$을 기억하라:

$$\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}\right| \right)}$$

다음 $$$u=x + \frac{\pi}{4}$$$을 기억하라:

$$\ln{\left(\left|{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}\right| \right)} = \ln{\left(\left|{\sin{\left({\color{red}{\left(x + \frac{\pi}{4}\right)}} \right)}}\right| \right)}$$

따라서,

$$\int{\cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} d x} = \ln{\left(\left|{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)} d x} = \ln{\left(\left|{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}+C$$

$$$\int \cot{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}\, dx = \ln\left(\left|{\sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right|\right) + C$$$A