$$$\tan^{2}{\left(4 x \right)}$$$의 적분

$$$\int \tan^{2}{\left(4 x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=4 x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(4 x\right)^{\prime }dx = 4 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{4}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\tan^{2}{\left(4 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\tan^{2}{\left(u \right)}}{4} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{4}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \tan^{2}{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{\tan^{2}{\left(u \right)}}{4} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\tan^{2}{\left(u \right)} d u}}{4}\right)}}$$

$$$v=\tan{\left(u \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$u=\operatorname{atan}{\left(v \right)}$$$ 및 $$$du=\left(\operatorname{atan}{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv = \frac{dv}{v^{2} + 1}$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다).

따라서,

$$\frac{{\color{red}{\int{\tan^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{v^{2}}{v^{2} + 1} d v}}}}{4}$$

분수식을 다시 쓰고 분리하세요:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{v^{2}}{v^{2} + 1} d v}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{v^{2} + 1}\right)d v}}}}{4}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{v^{2} + 1}\right)d v}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\left(\int{1 d v} - \int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}\right)}}}{4}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dv = c v$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$- \frac{\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}}{4} + \frac{{\color{red}{\int{1 d v}}}}{4} = - \frac{\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}}{4} + \frac{{\color{red}{v}}}{4}$$

$$$\frac{1}{v^{2} + 1}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} = \operatorname{atan}{\left(v \right)}$$$:

$$\frac{v}{4} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}}}}{4} = \frac{v}{4} - \frac{{\color{red}{\operatorname{atan}{\left(v \right)}}}}{4}$$

다음 $$$v=\tan{\left(u \right)}$$$을 기억하라:

$$- \frac{\operatorname{atan}{\left({\color{red}{v}} \right)}}{4} + \frac{{\color{red}{v}}}{4} = - \frac{\operatorname{atan}{\left({\color{red}{\tan{\left(u \right)}}} \right)}}{4} + \frac{{\color{red}{\tan{\left(u \right)}}}}{4}$$

다음 $$$u=4 x$$$을 기억하라:

$$\frac{\tan{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\tan{\left({\color{red}{u}} \right)} \right)}}{4} = \frac{\tan{\left({\color{red}{\left(4 x\right)}} \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\tan{\left({\color{red}{\left(4 x\right)}} \right)} \right)}}{4}$$

따라서,

$$\int{\tan^{2}{\left(4 x \right)} d x} = \frac{\tan{\left(4 x \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\tan{\left(4 x \right)} \right)}}{4}$$

간단히 하시오:

$$\int{\tan^{2}{\left(4 x \right)} d x} = - x + \frac{\tan{\left(4 x \right)}}{4}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\tan^{2}{\left(4 x \right)} d x} = - x + \frac{\tan{\left(4 x \right)}}{4}+C$$

$$$\int \tan^{2}{\left(4 x \right)}\, dx = \left(- x + \frac{\tan{\left(4 x \right)}}{4}\right) + C$$$A