$$$\operatorname{atan}{\left(2 x \right)}$$$의 적분

$$$\int \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=2 x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$${\color{red}{\int{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\operatorname{atan}{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}$$

적분 $$$\int{\operatorname{atan}{\left(u \right)} d u}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{\mu} \operatorname{dv} = \operatorname{\mu}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{d\mu}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{\mu}=\operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$와 $$$\operatorname{dv}=du$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{d\mu}=\left(\operatorname{atan}{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u^{2} + 1}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$\frac{{\color{red}{\int{\operatorname{atan}{\left(u \right)} d u}}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(\operatorname{atan}{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u^{2} + 1} d u}\right)}}}{2}=\frac{{\color{red}{\left(u \operatorname{atan}{\left(u \right)} - \int{\frac{u}{u^{2} + 1} d u}\right)}}}{2}$$

$$$v=u^{2} + 1$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(u^{2} + 1\right)^{\prime }du = 2 u du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$u du = \frac{dv}{2}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{u}{u^{2} + 1} d u}}}}{2} = \frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 v} d v}}}}{2}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$에 적용하세요:

$$\frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 v} d v}}}}{2} = \frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2}\right)}}}{2}$$

$$$\frac{1}{v}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$\frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{4} = \frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{4}$$

다음 $$$v=u^{2} + 1$$$을 기억하라:

$$\frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{4} = \frac{u \operatorname{atan}{\left(u \right)}}{2} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(u^{2} + 1\right)}}}\right| \right)}}{4}$$

다음 $$$u=2 x$$$을 기억하라:

$$- \frac{\ln{\left(1 + {\color{red}{u}}^{2} \right)}}{4} + \frac{{\color{red}{u}} \operatorname{atan}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = - \frac{\ln{\left(1 + {\color{red}{\left(2 x\right)}}^{2} \right)}}{4} + \frac{{\color{red}{\left(2 x\right)}} \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{2}$$

따라서,

$$\int{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)} d x} = x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\ln{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\operatorname{atan}{\left(2 x \right)} d x} = x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\ln{\left(4 x^{2} + 1 \right)}}{4}+C$$

$$$\int \operatorname{atan}{\left(2 x \right)}\, dx = \left(x \operatorname{atan}{\left(2 x \right)} - \frac{\ln\left(4 x^{2} + 1\right)}{4}\right) + C$$$A