$$$\frac{t \cos{\left(2 t \right)}}{4}$$$의 적분

$$$\int \frac{t \cos{\left(2 t \right)}}{4}\, dt$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$을 $$$c=\frac{1}{4}$$$와 $$$f{\left(t \right)} = t \cos{\left(2 t \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{t \cos{\left(2 t \right)}}{4} d t}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{t \cos{\left(2 t \right)} d t}}{4}\right)}}$$

적분 $$$\int{t \cos{\left(2 t \right)} d t}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=t$$$와 $$$\operatorname{dv}=\cos{\left(2 t \right)} dt$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(t\right)^{\prime }dt=1 dt$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{\cos{\left(2 t \right)} d t}=\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$\frac{{\color{red}{\int{t \cos{\left(2 t \right)} d t}}}}{4}=\frac{{\color{red}{\left(t \cdot \frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2}-\int{\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2} \cdot 1 d t}\right)}}}{4}=\frac{{\color{red}{\left(\frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{2} - \int{\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2} d t}\right)}}}{4}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(t \right)} = \sin{\left(2 t \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(2 t \right)}}{2} d t}}}}{4} = \frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(2 t \right)} d t}}{2}\right)}}}{4}$$

$$$u=2 t$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(2 t\right)^{\prime }dt = 2 dt$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dt = \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$\frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(2 t \right)} d t}}}}{8} = \frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{8}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{8} = \frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}}{8}$$

사인 함수의 적분은 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{16} = \frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} - \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{16}$$

다음 $$$u=2 t$$$을 기억하라:

$$\frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} + \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{16} = \frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} + \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(2 t\right)}} \right)}}{16}$$

따라서,

$$\int{\frac{t \cos{\left(2 t \right)}}{4} d t} = \frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{16}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{t \cos{\left(2 t \right)}}{4} d t} = \frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{16}+C$$

$$$\int \frac{t \cos{\left(2 t \right)}}{4}\, dt = \left(\frac{t \sin{\left(2 t \right)}}{8} + \frac{\cos{\left(2 t \right)}}{16}\right) + C$$$A