$$$\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}}$$$의 적분

$$$\int \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$x=3 \sin{\left(u \right)}$$$라 하자.

따라서 $$$dx=\left(3 \sin{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = 3 \cos{\left(u \right)} du$$$ (풀이 과정은 »에서 볼 수 있습니다).

또한 $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}$$$가 성립한다.

따라서,

$$$\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{9 - 9 \sin^{2}{\left( u \right)}}}{9 \sin^{2}{\left( u \right)}}$$$

$$$1 - \sin^{2}{\left( u \right)} = \cos^{2}{\left( u \right)}$$$ 항등식을 사용하시오:

$$$\frac{\sqrt{9 - 9 \sin^{2}{\left( u \right)}}}{9 \sin^{2}{\left( u \right)}}=\frac{\sqrt{1 - \sin^{2}{\left( u \right)}}}{3 \sin^{2}{\left( u \right)}}=\frac{\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}{3 \sin^{2}{\left( u \right)}}$$$

$$$\cos{\left( u \right)} \ge 0$$$라고 가정하면, 다음을 얻습니다:

$$$\frac{\sqrt{\cos^{2}{\left( u \right)}}}{3 \sin^{2}{\left( u \right)}} = \frac{\cos{\left( u \right)}}{3 \sin^{2}{\left( u \right)}}$$$

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}}$$

코탄젠트로 나타내기:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{\sin^{2}{\left(u \right)}} d u}}} = {\color{red}{\int{\cot^{2}{\left(u \right)} d u}}}$$

$$$v=\cot{\left(u \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(\cot{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = - \csc^{2}{\left(u \right)} du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\csc^{2}{\left(u \right)} du = - dv$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\cot^{2}{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{v^{2}}{v^{2} + 1}\right)d v}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(v \right)} = \frac{v^{2}}{v^{2} + 1}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{v^{2}}{v^{2} + 1}\right)d v}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{v^{2}}{v^{2} + 1} d v}\right)}}$$

분수식을 다시 쓰고 분리하세요:

$$- {\color{red}{\int{\frac{v^{2}}{v^{2} + 1} d v}}} = - {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{v^{2} + 1}\right)d v}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$- {\color{red}{\int{\left(1 - \frac{1}{v^{2} + 1}\right)d v}}} = - {\color{red}{\left(\int{1 d v} - \int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dv = c v$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} - {\color{red}{\int{1 d v}}} = \int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} - {\color{red}{v}}$$

$$$\frac{1}{v^{2} + 1}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v} = \operatorname{atan}{\left(v \right)}$$$:

$$- v + {\color{red}{\int{\frac{1}{v^{2} + 1} d v}}} = - v + {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(v \right)}}}$$

다음 $$$v=\cot{\left(u \right)}$$$을 기억하라:

$$\operatorname{atan}{\left({\color{red}{v}} \right)} - {\color{red}{v}} = \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\cot{\left(u \right)}}} \right)} - {\color{red}{\cot{\left(u \right)}}}$$

다음 $$$u=\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}$$$을 기억하라:

$$- \cot{\left({\color{red}{u}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\cot{\left({\color{red}{u}} \right)} \right)} = - \cot{\left({\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}} \right)} + \operatorname{atan}{\left(\cot{\left({\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{x}{3} \right)}}} \right)} \right)}$$

따라서,

$$\int{\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}} d x} = \operatorname{atan}{\left(\frac{3 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}}}{x} \right)} - \frac{3 \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}}}{x}$$

간단히 하시오:

$$\int{\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}} d x} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x} \right)} - \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}} d x} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x} \right)} - \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x}+C$$

$$$\int \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{2}}\, dx = \left(\operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x} \right)} - \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x}\right) + C$$$A