$$$x$$$에 대한 $$$\frac{b^{2} \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{a^{2}}$$$의 적분

$$$\int \frac{b^{2} \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{a^{2}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

피적분함수를 다시 쓰십시오:

$${\color{red}{\int{\frac{b^{2} \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{a^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2 b^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{a^{2}} d x}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{2 b^{2}}{a^{2}}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{2 b^{2} \sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}{a^{2}} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{2 b^{2} \int{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} d x}}{a^{2}}\right)}}$$

배각 공식 $$$\sin\left(x \right)\cos\left(x \right)=\frac{1}{2}\sin\left( 2 x \right)$$$을(를) 사용하여 피적분함수를 다시 쓰십시오:

$$\frac{2 b^{2} {\color{red}{\int{\sin^{2}{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} d x}}}}{a^{2}} = \frac{2 b^{2} {\color{red}{\int{\frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{4} d x}}}}{a^{2}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{4}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(2 x \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{2 b^{2} {\color{red}{\int{\frac{\sin^{2}{\left(2 x \right)}}{4} d x}}}}{a^{2}} = \frac{2 b^{2} {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin^{2}{\left(2 x \right)} d x}}{4}\right)}}}{a^{2}}$$

멱 감소 공식 $$$\sin^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2}$$$를 $$$\alpha=2 x$$$에 적용하세요:

$$\frac{b^{2} {\color{red}{\int{\sin^{2}{\left(2 x \right)} d x}}}}{2 a^{2}} = \frac{b^{2} {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)d x}}}}{2 a^{2}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = 1 - \cos{\left(4 x \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{b^{2} {\color{red}{\int{\left(\frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2}\right)d x}}}}{2 a^{2}} = \frac{b^{2} {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(1 - \cos{\left(4 x \right)}\right)d x}}{2}\right)}}}{2 a^{2}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$\frac{b^{2} {\color{red}{\int{\left(1 - \cos{\left(4 x \right)}\right)d x}}}}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} {\color{red}{\left(\int{1 d x} - \int{\cos{\left(4 x \right)} d x}\right)}}}{4 a^{2}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dx = c x$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$\frac{b^{2} \left(- \int{\cos{\left(4 x \right)} d x} + {\color{red}{\int{1 d x}}}\right)}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} \left(- \int{\cos{\left(4 x \right)} d x} + {\color{red}{x}}\right)}{4 a^{2}}$$

$$$u=4 x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(4 x\right)^{\prime }dx = 4 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{4}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{b^{2} \left(x - {\color{red}{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}}\right)}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} \left(x - {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{4} d u}}}\right)}{4 a^{2}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{4}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{b^{2} \left(x - {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{4} d u}}}\right)}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} \left(x - {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{4}\right)}}\right)}{4 a^{2}}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{b^{2} \left(x - \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{4}\right)}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} \left(x - \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{4}\right)}{4 a^{2}}$$

다음 $$$u=4 x$$$을 기억하라:

$$\frac{b^{2} \left(x - \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4}\right)}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} \left(x - \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(4 x\right)}} \right)}}{4}\right)}{4 a^{2}}$$

따라서,

$$\int{\frac{b^{2} \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{a^{2}} d x} = \frac{b^{2} \left(x - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}\right)}{4 a^{2}}$$

간단히 하시오:

$$\int{\frac{b^{2} \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{a^{2}} d x} = \frac{b^{2} \left(4 x - \sin{\left(4 x \right)}\right)}{16 a^{2}}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{b^{2} \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{a^{2}} d x} = \frac{b^{2} \left(4 x - \sin{\left(4 x \right)}\right)}{16 a^{2}}+C$$

$$$\int \frac{b^{2} \sin{\left(x \right)} \sin{\left(2 x \right)} \cos{\left(x \right)}}{a^{2}}\, dx = \frac{b^{2} \left(4 x - \sin{\left(4 x \right)}\right)}{16 a^{2}} + C$$$A