$$$\sin{\left(\pi x^{2} \right)}$$$의 적분

$$$\int \sin{\left(\pi x^{2} \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\sqrt{\pi} x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\sqrt{\pi} x\right)^{\prime }dx = \sqrt{\pi} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{\sqrt{\pi}}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\sin{\left(\pi x^{2} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u^{2} \right)}}{\sqrt{\pi}} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{\sqrt{\pi}}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u^{2} \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u^{2} \right)}}{\sqrt{\pi}} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\sin{\left(u^{2} \right)} d u}}{\sqrt{\pi}}}}$$

이 적분(프레넬 사인 적분)은 닫힌형 표현이 없습니다:

$$\frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u^{2} \right)} d u}}}}{\sqrt{\pi}} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} S\left(\frac{\sqrt{2} u}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}\right)}}}{\sqrt{\pi}}$$

다음 $$$u=\sqrt{\pi} x$$$을 기억하라:

$$\frac{\sqrt{2} S\left(\frac{\sqrt{2} {\color{red}{u}}}{\sqrt{\pi}}\right)}{2} = \frac{\sqrt{2} S\left(\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\sqrt{\pi} x}}}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}$$

따라서,

$$\int{\sin{\left(\pi x^{2} \right)} d x} = \frac{\sqrt{2} S\left(\sqrt{2} x\right)}{2}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\sin{\left(\pi x^{2} \right)} d x} = \frac{\sqrt{2} S\left(\sqrt{2} x\right)}{2}+C$$

$$$\int \sin{\left(\pi x^{2} \right)}\, dx = \frac{\sqrt{2} S\left(\sqrt{2} x\right)}{2} + C$$$A