$$$\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}$$$의 적분

$$$\int \left(\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx$$$을(를) 구하시오.

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + \int{\cos^{4}{\left(x \right)} d x}\right)}}$$

멱 감소 공식 $$$\cos^{4}{\left(\alpha \right)} = \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 \alpha \right)}}{8} + \frac{3}{8}$$$를 $$$\alpha=x$$$에 적용하세요:

$$\int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + {\color{red}{\int{\cos^{4}{\left(x \right)} d x}}} = \int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{3}{8}\right)d x}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{8}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = 4 \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)} + 3$$$에 적용하세요:

$$\int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{3}{8}\right)d x}}} = \int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(4 \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)} + 3\right)d x}}{8}\right)}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$\int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\int{\left(4 \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)} + 3\right)d x}}}}{8} = \int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\left(\int{3 d x} + \int{4 \cos{\left(2 x \right)} d x} + \int{\cos{\left(4 x \right)} d x}\right)}}}{8}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dx = c x$$$을 $$$c=3$$$에 적용하십시오:

$$\int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + \frac{\int{4 \cos{\left(2 x \right)} d x}}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{8} + \frac{{\color{red}{\int{3 d x}}}}{8} = \int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + \frac{\int{4 \cos{\left(2 x \right)} d x}}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{8} + \frac{{\color{red}{\left(3 x\right)}}}{8}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=4$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{3 x}{8} + \int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{8} + \frac{{\color{red}{\int{4 \cos{\left(2 x \right)} d x}}}}{8} = \frac{3 x}{8} + \int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{8} + \frac{{\color{red}{\left(4 \int{\cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}}{8}$$

$$$u=2 x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{3 x}{8} + \int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{8} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}}}}{2} = \frac{3 x}{8} + \int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{8} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{3 x}{8} + \int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{8} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2} = \frac{3 x}{8} + \int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{8} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}}{2}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{3 x}{8} + \int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{8} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{4} = \frac{3 x}{8} + \int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{8} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{4}$$

다음 $$$u=2 x$$$을 기억하라:

$$\frac{3 x}{8} + \int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{8} + \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4} = \frac{3 x}{8} + \int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{8} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{4}$$

$$$u=4 x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(4 x\right)^{\prime }dx = 4 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{4}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}}}{8} = \frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{4} d u}}}}{8}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{4}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{4} d u}}}}{8} = \frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{4}\right)}}}{8}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{32} = \frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{32}$$

다음 $$$u=4 x$$$을 기억하라:

$$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{32} = \frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(4 x\right)}} \right)}}{32}$$

멱 감소 공식 $$$\sin^{4}{\left(\alpha \right)} = - \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 \alpha \right)}}{8} + \frac{3}{8}$$$를 $$$\alpha=x$$$에 적용하세요:

$$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32} + {\color{red}{\int{\sin^{4}{\left(x \right)} d x}}} = \frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32} + {\color{red}{\int{\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{3}{8}\right)d x}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{8}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = - 4 \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)} + 3$$$에 적용하세요:

$$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32} + {\color{red}{\int{\left(- \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 x \right)}}{8} + \frac{3}{8}\right)d x}}} = \frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32} + {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(- 4 \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)} + 3\right)d x}}{8}\right)}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32} + \frac{{\color{red}{\int{\left(- 4 \cos{\left(2 x \right)} + \cos{\left(4 x \right)} + 3\right)d x}}}}{8} = \frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32} + \frac{{\color{red}{\left(\int{3 d x} - \int{4 \cos{\left(2 x \right)} d x} + \int{\cos{\left(4 x \right)} d x}\right)}}}{8}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dx = c x$$$을 $$$c=3$$$에 적용하십시오:

$$\frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32} - \frac{\int{4 \cos{\left(2 x \right)} d x}}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{8} + \frac{{\color{red}{\int{3 d x}}}}{8} = \frac{3 x}{8} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32} - \frac{\int{4 \cos{\left(2 x \right)} d x}}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{8} + \frac{{\color{red}{\left(3 x\right)}}}{8}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=4$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{3 x}{4} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32} + \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{4 \cos{\left(2 x \right)} d x}}}}{8} = \frac{3 x}{4} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32} + \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{8} - \frac{{\color{red}{\left(4 \int{\cos{\left(2 x \right)} d x}\right)}}}{8}$$

이미 계산된 적분 $$$\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}$$$:

$$\int{\cos{\left(2 x \right)} d x} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$

따라서,

$$\frac{3 x}{4} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32} + \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}}}}{2} = \frac{3 x}{4} + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32} + \frac{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}{8} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}\right)}}}{2}$$

이미 계산된 적분 $$$\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}$$$:

$$\int{\cos{\left(4 x \right)} d x} = \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}$$

따라서,

$$\frac{3 x}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}}}{8} = \frac{3 x}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{32} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sin{\left(4 x \right)}}{4}\right)}}}{8}$$

따라서,

$$\int{\left(\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}\right)d x} = \frac{3 x}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16}$$

간단히 하시오:

$$\int{\left(\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}\right)d x} = \frac{12 x + \sin{\left(4 x \right)}}{16}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\left(\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}\right)d x} = \frac{12 x + \sin{\left(4 x \right)}}{16}+C$$

$$$\int \left(\sin^{4}{\left(x \right)} + \cos^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = \frac{12 x + \sin{\left(4 x \right)}}{16} + C$$$A