$$$\sin^{4}{\left(\theta \right)}$$$의 적분

$$$\int \sin^{4}{\left(\theta \right)}\, d\theta$$$을(를) 구하시오.

멱 감소 공식 $$$\sin^{4}{\left(\alpha \right)} = - \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 \alpha \right)}}{8} + \frac{3}{8}$$$를 $$$\alpha=\theta$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\sin^{4}{\left(\theta \right)} d \theta}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{\cos{\left(2 \theta \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 \theta \right)}}{8} + \frac{3}{8}\right)d \theta}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(\theta \right)}\, d\theta = c \int f{\left(\theta \right)}\, d\theta$$$을 $$$c=\frac{1}{8}$$$와 $$$f{\left(\theta \right)} = - 4 \cos{\left(2 \theta \right)} + \cos{\left(4 \theta \right)} + 3$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{\cos{\left(2 \theta \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(4 \theta \right)}}{8} + \frac{3}{8}\right)d \theta}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(- 4 \cos{\left(2 \theta \right)} + \cos{\left(4 \theta \right)} + 3\right)d \theta}}{8}\right)}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- 4 \cos{\left(2 \theta \right)} + \cos{\left(4 \theta \right)} + 3\right)d \theta}}}}{8} = \frac{{\color{red}{\left(\int{3 d \theta} - \int{4 \cos{\left(2 \theta \right)} d \theta} + \int{\cos{\left(4 \theta \right)} d \theta}\right)}}}{8}$$

상수 법칙 $$$\int c\, d\theta = c \theta$$$을 $$$c=3$$$에 적용하십시오:

$$- \frac{\int{4 \cos{\left(2 \theta \right)} d \theta}}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 \theta \right)} d \theta}}{8} + \frac{{\color{red}{\int{3 d \theta}}}}{8} = - \frac{\int{4 \cos{\left(2 \theta \right)} d \theta}}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 \theta \right)} d \theta}}{8} + \frac{{\color{red}{\left(3 \theta\right)}}}{8}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(\theta \right)}\, d\theta = c \int f{\left(\theta \right)}\, d\theta$$$을 $$$c=4$$$와 $$$f{\left(\theta \right)} = \cos{\left(2 \theta \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{3 \theta}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 \theta \right)} d \theta}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{4 \cos{\left(2 \theta \right)} d \theta}}}}{8} = \frac{3 \theta}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 \theta \right)} d \theta}}{8} - \frac{{\color{red}{\left(4 \int{\cos{\left(2 \theta \right)} d \theta}\right)}}}{8}$$

$$$u=2 \theta$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(2 \theta\right)^{\prime }d\theta = 2 d\theta$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$d\theta = \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{3 \theta}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 \theta \right)} d \theta}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(2 \theta \right)} d \theta}}}}{2} = \frac{3 \theta}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 \theta \right)} d \theta}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{3 \theta}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 \theta \right)} d \theta}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2} = \frac{3 \theta}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 \theta \right)} d \theta}}{8} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}}{2}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{3 \theta}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 \theta \right)} d \theta}}{8} - \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{4} = \frac{3 \theta}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 \theta \right)} d \theta}}{8} - \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{4}$$

다음 $$$u=2 \theta$$$을 기억하라:

$$\frac{3 \theta}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 \theta \right)} d \theta}}{8} - \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4} = \frac{3 \theta}{8} + \frac{\int{\cos{\left(4 \theta \right)} d \theta}}{8} - \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 \theta\right)}} \right)}}{4}$$

$$$u=4 \theta$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(4 \theta\right)^{\prime }d\theta = 4 d\theta$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$d\theta = \frac{du}{4}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{3 \theta}{8} - \frac{\sin{\left(2 \theta \right)}}{4} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(4 \theta \right)} d \theta}}}}{8} = \frac{3 \theta}{8} - \frac{\sin{\left(2 \theta \right)}}{4} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{4} d u}}}}{8}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{4}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{3 \theta}{8} - \frac{\sin{\left(2 \theta \right)}}{4} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{4} d u}}}}{8} = \frac{3 \theta}{8} - \frac{\sin{\left(2 \theta \right)}}{4} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{4}\right)}}}{8}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{3 \theta}{8} - \frac{\sin{\left(2 \theta \right)}}{4} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{32} = \frac{3 \theta}{8} - \frac{\sin{\left(2 \theta \right)}}{4} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{32}$$

다음 $$$u=4 \theta$$$을 기억하라:

$$\frac{3 \theta}{8} - \frac{\sin{\left(2 \theta \right)}}{4} + \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{32} = \frac{3 \theta}{8} - \frac{\sin{\left(2 \theta \right)}}{4} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(4 \theta\right)}} \right)}}{32}$$

따라서,

$$\int{\sin^{4}{\left(\theta \right)} d \theta} = \frac{3 \theta}{8} - \frac{\sin{\left(2 \theta \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 \theta \right)}}{32}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\sin^{4}{\left(\theta \right)} d \theta} = \frac{3 \theta}{8} - \frac{\sin{\left(2 \theta \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 \theta \right)}}{32}+C$$

$$$\int \sin^{4}{\left(\theta \right)}\, d\theta = \left(\frac{3 \theta}{8} - \frac{\sin{\left(2 \theta \right)}}{4} + \frac{\sin{\left(4 \theta \right)}}{32}\right) + C$$$A