$$$\sin^{3}{\left(x \right)}$$$의 적분

$$$\int \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

사인 하나를 분리해 내고 나머지는 코사인으로 표현하되, $$$\alpha=x$$$를 사용한 $$$\sin^2\left(\alpha \right)=-\cos^2\left(\alpha \right)+1$$$ 공식을 이용하라.:

$${\color{red}{\int{\sin^{3}{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} d x}}}$$

$$$u=\cos{\left(x \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\cos{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = - \sin{\left(x \right)} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sin{\left(x \right)} dx = - du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\left(1 - \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(u^{2} - 1\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = 1 - u^{2}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(u^{2} - 1\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\left(1 - u^{2}\right)d u}\right)}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$- {\color{red}{\int{\left(1 - u^{2}\right)d u}}} = - {\color{red}{\left(\int{1 d u} - \int{u^{2} d u}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, du = c u$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$\int{u^{2} d u} - {\color{red}{\int{1 d u}}} = \int{u^{2} d u} - {\color{red}{u}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=2$$$에 적용합니다:

$$- u + {\color{red}{\int{u^{2} d u}}}=- u + {\color{red}{\frac{u^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- u + {\color{red}{\left(\frac{u^{3}}{3}\right)}}$$

다음 $$$u=\cos{\left(x \right)}$$$을 기억하라:

$$- {\color{red}{u}} + \frac{{\color{red}{u}}^{3}}{3} = - {\color{red}{\cos{\left(x \right)}}} + \frac{{\color{red}{\cos{\left(x \right)}}}^{3}}{3}$$

따라서,

$$\int{\sin^{3}{\left(x \right)} d x} = \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\sin^{3}{\left(x \right)} d x} = \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}+C$$

$$$\int \sin^{3}{\left(x \right)}\, dx = \left(\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3} - \cos{\left(x \right)}\right) + C$$$A