$$$x$$$에 대한 $$$u \sin^{2}{\left(3 x \right)}$$$의 적분

$$$\int u \sin^{2}{\left(3 x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

멱 감소 공식 $$$\sin^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{1}{2} - \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2}$$$를 $$$\alpha=3 x$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{u \sin^{2}{\left(3 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{u \left(1 - \cos{\left(6 x \right)}\right)}{2} d x}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = u \left(1 - \cos{\left(6 x \right)}\right)$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{u \left(1 - \cos{\left(6 x \right)}\right)}{2} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{u \left(1 - \cos{\left(6 x \right)}\right) d x}}{2}\right)}}$$

Expand the expression:

$$\frac{{\color{red}{\int{u \left(1 - \cos{\left(6 x \right)}\right) d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{\left(- u \cos{\left(6 x \right)} + u\right)d x}}}}{2}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(- u \cos{\left(6 x \right)} + u\right)d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\int{u d x} - \int{u \cos{\left(6 x \right)} d x}\right)}}}{2}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dx = c x$$$을 $$$c=u$$$에 적용하십시오:

$$- \frac{\int{u \cos{\left(6 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{u d x}}}}{2} = - \frac{\int{u \cos{\left(6 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{u x}}}{2}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=u$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(6 x \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{u x}{2} - \frac{{\color{red}{\int{u \cos{\left(6 x \right)} d x}}}}{2} = \frac{u x}{2} - \frac{{\color{red}{u \int{\cos{\left(6 x \right)} d x}}}}{2}$$

$$$v=6 x$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(6 x\right)^{\prime }dx = 6 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{dv}{6}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{u x}{2} - \frac{u {\color{red}{\int{\cos{\left(6 x \right)} d x}}}}{2} = \frac{u x}{2} - \frac{u {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{6} d v}}}}{2}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$을 $$$c=\frac{1}{6}$$$와 $$$f{\left(v \right)} = \cos{\left(v \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{u x}{2} - \frac{u {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{6} d v}}}}{2} = \frac{u x}{2} - \frac{u {\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}{6}\right)}}}{2}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(v \right)} d v} = \sin{\left(v \right)}$$$:

$$\frac{u x}{2} - \frac{u {\color{red}{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}}}{12} = \frac{u x}{2} - \frac{u {\color{red}{\sin{\left(v \right)}}}}{12}$$

다음 $$$v=6 x$$$을 기억하라:

$$\frac{u x}{2} - \frac{u \sin{\left({\color{red}{v}} \right)}}{12} = \frac{u x}{2} - \frac{u \sin{\left({\color{red}{\left(6 x\right)}} \right)}}{12}$$

따라서,

$$\int{u \sin^{2}{\left(3 x \right)} d x} = \frac{u x}{2} - \frac{u \sin{\left(6 x \right)}}{12}$$

간단히 하시오:

$$\int{u \sin^{2}{\left(3 x \right)} d x} = \frac{u \left(6 x - \sin{\left(6 x \right)}\right)}{12}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{u \sin^{2}{\left(3 x \right)} d x} = \frac{u \left(6 x - \sin{\left(6 x \right)}\right)}{12}+C$$

$$$\int u \sin^{2}{\left(3 x \right)}\, dx = \frac{u \left(6 x - \sin{\left(6 x \right)}\right)}{12} + C$$$A