$$$\pi$$$에 대한 $$$\frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi \left(z - 1\right)}$$$의 적분

$$$\int \frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi \left(z - 1\right)}\, d\pi$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(\pi \right)}\, d\pi = c \int f{\left(\pi \right)}\, d\pi$$$을 $$$c=\frac{1}{z - 1}$$$와 $$$f{\left(\pi \right)} = \frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi \left(z - 1\right)} d \pi}}} = {\color{red}{\frac{\int{\frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi} d \pi}}{z - 1}}}$$

$$$u=\pi \left(z - 1\right)$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\pi \left(z - 1\right)\right)^{\prime }d\pi = \left(z - 1\right) d\pi$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$d\pi = \frac{du}{z - 1}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi} d \pi}}}}{z - 1} = \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}}}{z - 1}$$

이 적분(사인 적분)은 닫힌형 표현이 없습니다:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{u} d u}}}}{z - 1} = \frac{{\color{red}{\operatorname{Si}{\left(u \right)}}}}{z - 1}$$

다음 $$$u=\pi \left(z - 1\right)$$$을 기억하라:

$$\frac{\operatorname{Si}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{z - 1} = \frac{\operatorname{Si}{\left({\color{red}{\pi \left(z - 1\right)}} \right)}}{z - 1}$$

따라서,

$$\int{\frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi \left(z - 1\right)} d \pi} = \frac{\operatorname{Si}{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{z - 1}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi \left(z - 1\right)} d \pi} = \frac{\operatorname{Si}{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{z - 1}+C$$

$$$\int \frac{\sin{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{\pi \left(z - 1\right)}\, d\pi = \frac{\operatorname{Si}{\left(\pi \left(z - 1\right) \right)}}{z - 1} + C$$$A