$$$\sec^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}$$$의 적분

$$$\int \sec^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\frac{x}{2}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\frac{x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = 2 du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\sec^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{2 \sec^{4}{\left(u \right)} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \sec^{4}{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{2 \sec^{4}{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\sec^{4}{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

시컨트 두 개를 떼어 내고, $$$\alpha= u $$$에 대해 $$$\sec^2\left( \alpha \right)=\tan^2\left( \alpha \right) + 1$$$ 공식을 사용하여 나머지는 모두 탄젠트로 표현하세요.:

$$2 {\color{red}{\int{\sec^{4}{\left(u \right)} d u}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(\tan^{2}{\left(u \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(u \right)} d u}}}$$

$$$v=\tan{\left(u \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(\tan{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = \sec^{2}{\left(u \right)} du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sec^{2}{\left(u \right)} du = dv$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$2 {\color{red}{\int{\left(\tan^{2}{\left(u \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(u \right)} d u}}} = 2 {\color{red}{\int{\left(v^{2} + 1\right)d v}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$2 {\color{red}{\int{\left(v^{2} + 1\right)d v}}} = 2 {\color{red}{\left(\int{1 d v} + \int{v^{2} d v}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dv = c v$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$2 \int{v^{2} d v} + 2 {\color{red}{\int{1 d v}}} = 2 \int{v^{2} d v} + 2 {\color{red}{v}}$$

멱법칙($$$\int v^{n}\, dv = \frac{v^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=2$$$에 적용합니다:

$$2 v + 2 {\color{red}{\int{v^{2} d v}}}=2 v + 2 {\color{red}{\frac{v^{1 + 2}}{1 + 2}}}=2 v + 2 {\color{red}{\left(\frac{v^{3}}{3}\right)}}$$

다음 $$$v=\tan{\left(u \right)}$$$을 기억하라:

$$2 {\color{red}{v}} + \frac{2 {\color{red}{v}}^{3}}{3} = 2 {\color{red}{\tan{\left(u \right)}}} + \frac{2 {\color{red}{\tan{\left(u \right)}}}^{3}}{3}$$

다음 $$$u=\frac{x}{2}$$$을 기억하라:

$$2 \tan{\left({\color{red}{u}} \right)} + \frac{2 \tan^{3}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{3} = 2 \tan{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{2}\right)}} \right)} + \frac{2 \tan^{3}{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{2}\right)}} \right)}}{3}$$

따라서,

$$\int{\sec^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)} d x} = \frac{2 \tan^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + 2 \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$$

간단히 하시오:

$$\int{\sec^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)} d x} = \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 3\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\sec^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)} d x} = \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 3\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3}+C$$

$$$\int \sec^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}\, dx = \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 3\right) \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + C$$$A