$$$p^{6} \ln\left(p\right)$$$의 적분

$$$\int p^{6} \ln\left(p\right)\, dp$$$을(를) 구하시오.

적분 $$$\int{p^{6} \ln{\left(p \right)} d p}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=\ln{\left(p \right)}$$$와 $$$\operatorname{dv}=p^{6} dp$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(\ln{\left(p \right)}\right)^{\prime }dp=\frac{dp}{p}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{p^{6} d p}=\frac{p^{7}}{7}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$${\color{red}{\int{p^{6} \ln{\left(p \right)} d p}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(p \right)} \cdot \frac{p^{7}}{7}-\int{\frac{p^{7}}{7} \cdot \frac{1}{p} d p}\right)}}={\color{red}{\left(\frac{p^{7} \ln{\left(p \right)}}{7} - \int{\frac{p^{6}}{7} d p}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(p \right)}\, dp = c \int f{\left(p \right)}\, dp$$$을 $$$c=\frac{1}{7}$$$와 $$$f{\left(p \right)} = p^{6}$$$에 적용하세요:

$$\frac{p^{7} \ln{\left(p \right)}}{7} - {\color{red}{\int{\frac{p^{6}}{7} d p}}} = \frac{p^{7} \ln{\left(p \right)}}{7} - {\color{red}{\left(\frac{\int{p^{6} d p}}{7}\right)}}$$

멱법칙($$$\int p^{n}\, dp = \frac{p^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=6$$$에 적용합니다:

$$\frac{p^{7} \ln{\left(p \right)}}{7} - \frac{{\color{red}{\int{p^{6} d p}}}}{7}=\frac{p^{7} \ln{\left(p \right)}}{7} - \frac{{\color{red}{\frac{p^{1 + 6}}{1 + 6}}}}{7}=\frac{p^{7} \ln{\left(p \right)}}{7} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{p^{7}}{7}\right)}}}{7}$$

따라서,

$$\int{p^{6} \ln{\left(p \right)} d p} = \frac{p^{7} \ln{\left(p \right)}}{7} - \frac{p^{7}}{49}$$

간단히 하시오:

$$\int{p^{6} \ln{\left(p \right)} d p} = \frac{p^{7} \left(7 \ln{\left(p \right)} - 1\right)}{49}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{p^{6} \ln{\left(p \right)} d p} = \frac{p^{7} \left(7 \ln{\left(p \right)} - 1\right)}{49}+C$$

$$$\int p^{6} \ln\left(p\right)\, dp = \frac{p^{7} \left(7 \ln\left(p\right) - 1\right)}{49} + C$$$A