$$$\ln\left(\frac{x}{2} - 1\right)$$$의 적분

$$$\int \ln\left(\frac{x}{2} - 1\right)\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\frac{x}{2} - 1$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\frac{x}{2} - 1\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{2}$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = 2 du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{2 \ln{\left(u \right)} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \ln{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{2 \ln{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{\ln{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

적분 $$$\int{\ln{\left(u \right)} d u}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{g} \operatorname{dv} = \operatorname{g}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dg}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{g}=\ln{\left(u \right)}$$$와 $$$\operatorname{dv}=du$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{dg}=\left(\ln{\left(u \right)}\right)^{\prime }du=\frac{du}{u}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{1 d u}=u$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$2 {\color{red}{\int{\ln{\left(u \right)} d u}}}=2 {\color{red}{\left(\ln{\left(u \right)} \cdot u-\int{u \cdot \frac{1}{u} d u}\right)}}=2 {\color{red}{\left(u \ln{\left(u \right)} - \int{1 d u}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, du = c u$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$2 u \ln{\left(u \right)} - 2 {\color{red}{\int{1 d u}}} = 2 u \ln{\left(u \right)} - 2 {\color{red}{u}}$$

다음 $$$u=\frac{x}{2} - 1$$$을 기억하라:

$$- 2 {\color{red}{u}} + 2 {\color{red}{u}} \ln{\left({\color{red}{u}} \right)} = - 2 {\color{red}{\left(\frac{x}{2} - 1\right)}} + 2 {\color{red}{\left(\frac{x}{2} - 1\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{2} - 1\right)}} \right)}$$

따라서,

$$\int{\ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} d x} = - x + 2 \left(\frac{x}{2} - 1\right) \ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} + 2$$

간단히 하시오:

$$\int{\ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} d x} = - x + \left(x - 2\right) \ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} + 2$$

적분 상수를 추가하고(식에서 상수항을 제거하십시오):

$$\int{\ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)} d x} = - x + \left(x - 2\right) \ln{\left(\frac{x}{2} - 1 \right)}+C$$

$$$\int \ln\left(\frac{x}{2} - 1\right)\, dx = \left(- x + \left(x - 2\right) \ln\left(\frac{x}{2} - 1\right)\right) + C$$$A