$$$u$$$에 대한 $$$\ln\left(u + v\right)$$$의 적분

$$$\int \ln\left(u + v\right)\, du$$$을(를) 구하시오.

$$$w=u + v$$$라 하자.

그러면 $$$dw=\left(u + v\right)^{\prime }du = 1 du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$du = dw$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\ln{\left(u + v \right)} d u}}} = {\color{red}{\int{\ln{\left(w \right)} d w}}}$$

적분 $$$\int{\ln{\left(w \right)} d w}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{z} \operatorname{dl} = \operatorname{z}\operatorname{l} - \int \operatorname{l} \operatorname{dz}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{z}=\ln{\left(w \right)}$$$와 $$$\operatorname{dl}=dw$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{dz}=\left(\ln{\left(w \right)}\right)^{\prime }dw=\frac{dw}{w}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{l}=\int{1 d w}=w$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$${\color{red}{\int{\ln{\left(w \right)} d w}}}={\color{red}{\left(\ln{\left(w \right)} \cdot w-\int{w \cdot \frac{1}{w} d w}\right)}}={\color{red}{\left(w \ln{\left(w \right)} - \int{1 d w}\right)}}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dw = c w$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$w \ln{\left(w \right)} - {\color{red}{\int{1 d w}}} = w \ln{\left(w \right)} - {\color{red}{w}}$$

다음 $$$w=u + v$$$을 기억하라:

$$- {\color{red}{w}} + {\color{red}{w}} \ln{\left({\color{red}{w}} \right)} = - {\color{red}{\left(u + v\right)}} + {\color{red}{\left(u + v\right)}} \ln{\left({\color{red}{\left(u + v\right)}} \right)}$$

따라서,

$$\int{\ln{\left(u + v \right)} d u} = - u - v + \left(u + v\right) \ln{\left(u + v \right)}$$

간단히 하시오:

$$\int{\ln{\left(u + v \right)} d u} = \left(u + v\right) \left(\ln{\left(u + v \right)} - 1\right)$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\ln{\left(u + v \right)} d u} = \left(u + v\right) \left(\ln{\left(u + v \right)} - 1\right)+C$$

$$$\int \ln\left(u + v\right)\, du = \left(u + v\right) \left(\ln\left(u + v\right) - 1\right) + C$$$A