$$$x e^{5} \sin{\left(3 x \right)}$$$의 적분

$$$\int x e^{5} \sin{\left(3 x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=e^{5}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x \sin{\left(3 x \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{x e^{5} \sin{\left(3 x \right)} d x}}} = {\color{red}{e^{5} \int{x \sin{\left(3 x \right)} d x}}}$$

적분 $$$\int{x \sin{\left(3 x \right)} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=x$$$와 $$$\operatorname{dv}=\sin{\left(3 x \right)} dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{\sin{\left(3 x \right)} d x}=- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$e^{5} {\color{red}{\int{x \sin{\left(3 x \right)} d x}}}=e^{5} {\color{red}{\left(x \cdot \left(- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}\right)-\int{\left(- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}\right) \cdot 1 d x}\right)}}=e^{5} {\color{red}{\left(- \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} - \int{\left(- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}\right)d x}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=- \frac{1}{3}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$$$에 적용하세요:

$$e^{5} \left(- \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}\right)d x}}}\right) = e^{5} \left(- \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} - {\color{red}{\left(- \frac{\int{\cos{\left(3 x \right)} d x}}{3}\right)}}\right)$$

$$$u=3 x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(3 x\right)^{\prime }dx = 3 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{3}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$e^{5} \left(- \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(3 x \right)} d x}}}}{3}\right) = e^{5} \left(- \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{3} d u}}}}{3}\right)$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{3}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$e^{5} \left(- \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{3} d u}}}}{3}\right) = e^{5} \left(- \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{3}\right)}}}{3}\right)$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$e^{5} \left(- \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{9}\right) = e^{5} \left(- \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{9}\right)$$

다음 $$$u=3 x$$$을 기억하라:

$$e^{5} \left(- \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{9}\right) = e^{5} \left(- \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(3 x\right)}} \right)}}{9}\right)$$

따라서,

$$\int{x e^{5} \sin{\left(3 x \right)} d x} = \left(- \frac{x \cos{\left(3 x \right)}}{3} + \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{9}\right) e^{5}$$

간단히 하시오:

$$\int{x e^{5} \sin{\left(3 x \right)} d x} = \frac{\left(- 3 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right) e^{5}}{9}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{x e^{5} \sin{\left(3 x \right)} d x} = \frac{\left(- 3 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right) e^{5}}{9}+C$$

$$$\int x e^{5} \sin{\left(3 x \right)}\, dx = \frac{\left(- 3 x \cos{\left(3 x \right)} + \sin{\left(3 x \right)}\right) e^{5}}{9} + C$$$A