$$$x e^{2} \cos{\left(2 x \right)}$$$의 적분

$$$\int x e^{2} \cos{\left(2 x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=e^{2}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x \cos{\left(2 x \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{x e^{2} \cos{\left(2 x \right)} d x}}} = {\color{red}{e^{2} \int{x \cos{\left(2 x \right)} d x}}}$$

적분 $$$\int{x \cos{\left(2 x \right)} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=x$$$와 $$$\operatorname{dv}=\cos{\left(2 x \right)} dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(x\right)^{\prime }dx=1 dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{\cos{\left(2 x \right)} d x}=\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$e^{2} {\color{red}{\int{x \cos{\left(2 x \right)} d x}}}=e^{2} {\color{red}{\left(x \cdot \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2}-\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} \cdot 1 d x}\right)}}=e^{2} {\color{red}{\left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} d x}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(2 x \right)}$$$에 적용하세요:

$$e^{2} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(2 x \right)}}{2} d x}}}\right) = e^{2} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(2 x \right)} d x}}{2}\right)}}\right)$$

$$$u=2 x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$e^{2} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(2 x \right)} d x}}}}{2}\right) = e^{2} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2}\right)$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$e^{2} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{2} d u}}}}{2}\right) = e^{2} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{2}\right)}}}{2}\right)$$

사인 함수의 적분은 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$:

$$e^{2} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}}}{4}\right) = e^{2} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} - \frac{{\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}}{4}\right)$$

다음 $$$u=2 x$$$을 기억하라:

$$e^{2} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left({\color{red}{u}} \right)}}{4}\right) = e^{2} \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left({\color{red}{\left(2 x\right)}} \right)}}{4}\right)$$

따라서,

$$\int{x e^{2} \cos{\left(2 x \right)} d x} = \left(\frac{x \sin{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(2 x \right)}}{4}\right) e^{2}$$

간단히 하시오:

$$\int{x e^{2} \cos{\left(2 x \right)} d x} = \frac{\left(2 x \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{2}}{4}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{x e^{2} \cos{\left(2 x \right)} d x} = \frac{\left(2 x \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{2}}{4}+C$$

$$$\int x e^{2} \cos{\left(2 x \right)}\, dx = \frac{\left(2 x \sin{\left(2 x \right)} + \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{2}}{4} + C$$$A