$$$e^{\frac{p^{2}}{4}}$$$의 적분

$$$\int e^{\frac{p^{2}}{4}}\, dp$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\frac{p}{2}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\frac{p}{2}\right)^{\prime }dp = \frac{dp}{2}$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dp = 2 du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{p^{2}}{4}} d p}}} = {\color{red}{\int{2 e^{u^{2}} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=2$$$와 $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{2 e^{u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\left(2 \int{e^{u^{2}} d u}\right)}}$$

이 적분(허수 오차 함수)은 닫힌형 표현이 없습니다:

$$2 {\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}} = 2 {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}$$

다음 $$$u=\frac{p}{2}$$$을 기억하라:

$$\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{\left(\frac{p}{2}\right)}} \right)}$$

따라서,

$$\int{e^{\frac{p^{2}}{4}} d p} = \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\frac{p}{2} \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{e^{\frac{p^{2}}{4}} d p} = \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\frac{p}{2} \right)}+C$$

$$$\int e^{\frac{p^{2}}{4}}\, dp = \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\frac{p}{2} \right)} + C$$$A