$$$e^{3 \sqrt{x}}$$$의 적분

$$$\int e^{3 \sqrt{x}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=3 \sqrt{x}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(3 \sqrt{x}\right)^{\prime }dx = \frac{3}{2 \sqrt{x}} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\frac{dx}{\sqrt{x}} = \frac{2 du}{3}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{e^{3 \sqrt{x}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{2 u e^{u}}{9} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{2}{9}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = u e^{u}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{2 u e^{u}}{9} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{2 \int{u e^{u} d u}}{9}\right)}}$$

적분 $$$\int{u e^{u} d u}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{d} \operatorname{dv} = \operatorname{d}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{dd}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{d}=u$$$와 $$$\operatorname{dv}=e^{u} du$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{dd}=\left(u\right)^{\prime }du=1 du$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{e^{u} d u}=e^{u}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$\frac{2 {\color{red}{\int{u e^{u} d u}}}}{9}=\frac{2 {\color{red}{\left(u \cdot e^{u}-\int{e^{u} \cdot 1 d u}\right)}}}{9}=\frac{2 {\color{red}{\left(u e^{u} - \int{e^{u} d u}\right)}}}{9}$$

지수 함수의 적분은 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$입니다:

$$\frac{2 u e^{u}}{9} - \frac{2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}}}{9} = \frac{2 u e^{u}}{9} - \frac{2 {\color{red}{e^{u}}}}{9}$$

다음 $$$u=3 \sqrt{x}$$$을 기억하라:

$$- \frac{2 e^{{\color{red}{u}}}}{9} + \frac{2 {\color{red}{u}} e^{{\color{red}{u}}}}{9} = - \frac{2 e^{{\color{red}{\left(3 \sqrt{x}\right)}}}}{9} + \frac{2 {\color{red}{\left(3 \sqrt{x}\right)}} e^{{\color{red}{\left(3 \sqrt{x}\right)}}}}{9}$$

따라서,

$$\int{e^{3 \sqrt{x}} d x} = \frac{2 \sqrt{x} e^{3 \sqrt{x}}}{3} - \frac{2 e^{3 \sqrt{x}}}{9}$$

간단히 하시오:

$$\int{e^{3 \sqrt{x}} d x} = \frac{2 \left(3 \sqrt{x} - 1\right) e^{3 \sqrt{x}}}{9}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{e^{3 \sqrt{x}} d x} = \frac{2 \left(3 \sqrt{x} - 1\right) e^{3 \sqrt{x}}}{9}+C$$

$$$\int e^{3 \sqrt{x}}\, dx = \frac{2 \left(3 \sqrt{x} - 1\right) e^{3 \sqrt{x}}}{9} + C$$$A