$$$p$$$에 대한 $$$e^{- p^{2} - q^{2}}$$$의 적분

$$$\int e^{- p^{2} - q^{2}}\, dp$$$을(를) 구하시오.

피적분함수를 다시 쓰십시오:

$${\color{red}{\int{e^{- p^{2} - q^{2}} d p}}} = {\color{red}{\int{e^{- p^{2}} e^{- q^{2}} d p}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(p \right)}\, dp = c \int f{\left(p \right)}\, dp$$$을 $$$c=e^{- q^{2}}$$$와 $$$f{\left(p \right)} = e^{- p^{2}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{e^{- p^{2}} e^{- q^{2}} d p}}} = {\color{red}{e^{- q^{2}} \int{e^{- p^{2}} d p}}}$$

이 적분(오차 함수)은 닫힌형 표현이 없습니다:

$$e^{- q^{2}} {\color{red}{\int{e^{- p^{2}} d p}}} = e^{- q^{2}} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erf}{\left(p \right)}}{2}\right)}}$$

따라서,

$$\int{e^{- p^{2} - q^{2}} d p} = \frac{\sqrt{\pi} e^{- q^{2}} \operatorname{erf}{\left(p \right)}}{2}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{e^{- p^{2} - q^{2}} d p} = \frac{\sqrt{\pi} e^{- q^{2}} \operatorname{erf}{\left(p \right)}}{2}+C$$

$$$\int e^{- p^{2} - q^{2}}\, dp = \frac{\sqrt{\pi} e^{- q^{2}} \operatorname{erf}{\left(p \right)}}{2} + C$$$A