$$$y$$$에 대한 $$$e^{\frac{y}{x}}$$$의 적분

$$$\int e^{\frac{y}{x}}\, dy$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\frac{y}{x}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\frac{y}{x}\right)^{\prime }dy = \frac{dy}{x}$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dy = x du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{e^{\frac{y}{x}} d y}}} = {\color{red}{\int{x e^{u} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=x$$$와 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{x e^{u} d u}}} = {\color{red}{x \int{e^{u} d u}}}$$

지수 함수의 적분은 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$입니다:

$$x {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = x {\color{red}{e^{u}}}$$

다음 $$$u=\frac{y}{x}$$$을 기억하라:

$$x e^{{\color{red}{u}}} = x e^{{\color{red}{\frac{y}{x}}}}$$

따라서,

$$\int{e^{\frac{y}{x}} d y} = x e^{\frac{y}{x}}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{e^{\frac{y}{x}} d y} = x e^{\frac{y}{x}}+C$$

$$$\int e^{\frac{y}{x}}\, dy = x e^{\frac{y}{x}} + C$$$A