$$$e^{\frac{x^{2}}{2}}$$$의 적분

$$$\int e^{\frac{x^{2}}{2}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\frac{\sqrt{2} x}{2}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\frac{\sqrt{2} x}{2}\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{2}}{2} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \sqrt{2} du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{e^{\frac{x^{2}}{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\sqrt{2} e^{u^{2}} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\sqrt{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\sqrt{2} e^{u^{2}} d u}}} = {\color{red}{\sqrt{2} \int{e^{u^{2}} d u}}}$$

이 적분(허수 오차 함수)은 닫힌형 표현이 없습니다:

$$\sqrt{2} {\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}} = \sqrt{2} {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}$$

다음 $$$u=\frac{\sqrt{2} x}{2}$$$을 기억하라:

$$\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2}\right)}} \right)}}{2}$$

따라서,

$$\int{e^{\frac{x^{2}}{2}} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{e^{\frac{x^{2}}{2}} d x} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2}+C$$

$$$\int e^{\frac{x^{2}}{2}}\, dx = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(\frac{\sqrt{2} x}{2} \right)}}{2} + C$$$A