$$$e^{\sec^{2}{\left(x \right)}} \tan{\left(x \right)}$$$의 적분

$$$\int e^{\sec^{2}{\left(x \right)}} \tan{\left(x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\sec^{2}{\left(x \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\sec^{2}{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = 2 \tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\tan{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} dx = \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{e^{\sec^{2}{\left(x \right)}} \tan{\left(x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2 u} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{e^{u}}{u}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{2 u} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}{2}\right)}}$$

이 적분(지수적분)은 닫힌형 표현이 없습니다:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{e^{u}}{u} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\operatorname{Ei}{\left(u \right)}}}}{2}$$

다음 $$$u=\sec^{2}{\left(x \right)}$$$을 기억하라:

$$\frac{\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\operatorname{Ei}{\left({\color{red}{\sec^{2}{\left(x \right)}}} \right)}}{2}$$

따라서,

$$\int{e^{\sec^{2}{\left(x \right)}} \tan{\left(x \right)} d x} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{e^{\sec^{2}{\left(x \right)}} \tan{\left(x \right)} d x} = \frac{\operatorname{Ei}{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2}+C$$

$$$\int e^{\sec^{2}{\left(x \right)}} \tan{\left(x \right)}\, dx = \frac{\operatorname{Ei}{\left(\sec^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} + C$$$A