$$$x$$$에 대한 $$$e^{i a x^{2}}$$$의 적분

$$$\int e^{i a x^{2}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=x \sqrt{i a}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(x \sqrt{i a}\right)^{\prime }dx = \sqrt{i a} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{\sqrt{i a}}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{e^{i a x^{2}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{e^{u^{2}}}{\sqrt{i a}} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{\sqrt{i a}}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{e^{u^{2}}}{\sqrt{i a}} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{e^{u^{2}} d u}}{\sqrt{i a}}}}$$

이 적분(허수 오차 함수)은 닫힌형 표현이 없습니다:

$$\frac{{\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}}}{\sqrt{i a}} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}}{\sqrt{i a}}$$

다음 $$$u=x \sqrt{i a}$$$을 기억하라:

$$\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2 \sqrt{i a}} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{x \sqrt{i a}}} \right)}}{2 \sqrt{i a}}$$

따라서,

$$\int{e^{i a x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \sqrt{i a} \right)}}{2 \sqrt{i a}}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{e^{i a x^{2}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \sqrt{i a} \right)}}{2 \sqrt{i a}}+C$$

$$$\int e^{i a x^{2}}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(x \sqrt{i a} \right)}}{2 \sqrt{i a}} + C$$$A