$$$\frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}}$$$의 적분

$$$\int \frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=e^{2 x}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(e^{2 x}\right)^{\prime }dx = 2 e^{2 x} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$e^{2 x} dx = \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$${\color{red}{\int{\frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sqrt{16 - u^{2}}} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\sqrt{16 - u^{2}}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sqrt{16 - u^{2}}} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{\sqrt{16 - u^{2}}} d u}}{2}\right)}}$$

$$$u=4 \sin{\left(v \right)}$$$라 하자.

따라서 $$$du=\left(4 \sin{\left(v \right)}\right)^{\prime }dv = 4 \cos{\left(v \right)} dv$$$ (풀이 과정은 »에서 볼 수 있습니다).

또한 $$$v=\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{4} \right)}$$$가 성립한다.

따라서,

$$$\frac{1}{\sqrt{16 - u ^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{16 - 16 \sin^{2}{\left( v \right)}}}$$$

$$$1 - \sin^{2}{\left( v \right)} = \cos^{2}{\left( v \right)}$$$ 항등식을 사용하시오:

$$$\frac{1}{\sqrt{16 - 16 \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{1}{4 \sqrt{1 - \sin^{2}{\left( v \right)}}}=\frac{1}{4 \sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}}$$$

$$$\cos{\left( v \right)} \ge 0$$$라고 가정하면, 다음을 얻습니다:

$$$\frac{1}{4 \sqrt{\cos^{2}{\left( v \right)}}} = \frac{1}{4 \cos{\left( v \right)}}$$$

적분은 다음과 같이 됩니다

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\sqrt{16 - u^{2}}} d u}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\int{1 d v}}}}{2}$$

상수 법칙 $$$\int c\, dv = c v$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$\frac{{\color{red}{\int{1 d v}}}}{2} = \frac{{\color{red}{v}}}{2}$$

다음 $$$v=\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{4} \right)}$$$을 기억하라:

$$\frac{{\color{red}{v}}}{2} = \frac{{\color{red}{\operatorname{asin}{\left(\frac{u}{4} \right)}}}}{2}$$

다음 $$$u=e^{2 x}$$$을 기억하라:

$$\frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{{\color{red}{u}}}{4} \right)}}{2} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{{\color{red}{e^{2 x}}}}{4} \right)}}{2}$$

따라서,

$$\int{\frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}} d x} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{e^{2 x}}{4} \right)}}{2}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}} d x} = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{e^{2 x}}{4} \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{e^{2 x}}{\sqrt{16 - e^{4 x}}}\, dx = \frac{\operatorname{asin}{\left(\frac{e^{2 x}}{4} \right)}}{2} + C$$$A