$$$x$$$에 대한 $$$a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}}$$$의 적분

$$$\int a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=a d$$$와 $$$f{\left(x \right)} = e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x}}} = {\color{red}{a d \int{e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x}}}$$

$$$u=\frac{x}{\left|{a}\right|}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\frac{x}{\left|{a}\right|}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{\left|{a}\right|}$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \left|{a}\right| du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$a d {\color{red}{\int{e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x}}} = a d {\color{red}{\int{e^{u^{2}} \left|{a}\right| d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\left|{a}\right|$$$와 $$$f{\left(u \right)} = e^{u^{2}}$$$에 적용하세요:

$$a d {\color{red}{\int{e^{u^{2}} \left|{a}\right| d u}}} = a d {\color{red}{\left|{a}\right| \int{e^{u^{2}} d u}}}$$

이 적분(허수 오차 함수)은 닫힌형 표현이 없습니다:

$$a d \left|{a}\right| {\color{red}{\int{e^{u^{2}} d u}}} = a d \left|{a}\right| {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{\pi} \operatorname{erfi}{\left(u \right)}}{2}\right)}}$$

다음 $$$u=\frac{x}{\left|{a}\right|}$$$을 기억하라:

$$\frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{2} = \frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left({\color{red}{\frac{x}{\left|{a}\right|}}} \right)}}{2}$$

따라서,

$$\int{a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}{2}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}} d x} = \frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}{2}+C$$

$$$\int a d e^{\frac{x^{2}}{a^{2}}}\, dx = \frac{\sqrt{\pi} a d \left|{a}\right| \operatorname{erfi}{\left(\frac{x}{\left|{a}\right|} \right)}}{2} + C$$$A