$$$\left(t^{2} - 1\right) e^{- t}$$$의 적분

$$$\int \left(t^{2} - 1\right) e^{- t}\, dt$$$을(를) 구하시오.

적분 $$$\int{\left(t^{2} - 1\right) e^{- t} d t}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=t^{2} - 1$$$와 $$$\operatorname{dv}=e^{- t} dt$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(t^{2} - 1\right)^{\prime }dt=2 t dt$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- t} d t}=- e^{- t}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$${\color{red}{\int{\left(t^{2} - 1\right) e^{- t} d t}}}={\color{red}{\left(\left(t^{2} - 1\right) \cdot \left(- e^{- t}\right)-\int{\left(- e^{- t}\right) \cdot 2 t d t}\right)}}={\color{red}{\left(- \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} - \int{\left(- 2 t e^{- t}\right)d t}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$을 $$$c=-2$$$와 $$$f{\left(t \right)} = t e^{- t}$$$에 적용하세요:

$$- \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} - {\color{red}{\int{\left(- 2 t e^{- t}\right)d t}}} = - \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} - {\color{red}{\left(- 2 \int{t e^{- t} d t}\right)}}$$

적분 $$$\int{t e^{- t} d t}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=t$$$와 $$$\operatorname{dv}=e^{- t} dt$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(t\right)^{\prime }dt=1 dt$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{e^{- t} d t}=- e^{- t}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$- \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} + 2 {\color{red}{\int{t e^{- t} d t}}}=- \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} + 2 {\color{red}{\left(t \cdot \left(- e^{- t}\right)-\int{\left(- e^{- t}\right) \cdot 1 d t}\right)}}=- \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} + 2 {\color{red}{\left(- t e^{- t} - \int{\left(- e^{- t}\right)d t}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(t \right)} = e^{- t}$$$에 적용하세요:

$$- 2 t e^{- t} - \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} - 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{- t}\right)d t}}} = - 2 t e^{- t} - \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} - 2 {\color{red}{\left(- \int{e^{- t} d t}\right)}}$$

$$$u=- t$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(- t\right)^{\prime }dt = - dt$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dt = - du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$- 2 t e^{- t} - \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} + 2 {\color{red}{\int{e^{- t} d t}}} = - 2 t e^{- t} - \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} + 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = e^{u}$$$에 적용하세요:

$$- 2 t e^{- t} - \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} + 2 {\color{red}{\int{\left(- e^{u}\right)d u}}} = - 2 t e^{- t} - \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} + 2 {\color{red}{\left(- \int{e^{u} d u}\right)}}$$

지수 함수의 적분은 $$$\int{e^{u} d u} = e^{u}$$$입니다:

$$- 2 t e^{- t} - \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} - 2 {\color{red}{\int{e^{u} d u}}} = - 2 t e^{- t} - \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} - 2 {\color{red}{e^{u}}}$$

다음 $$$u=- t$$$을 기억하라:

$$- 2 t e^{- t} - \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} - 2 e^{{\color{red}{u}}} = - 2 t e^{- t} - \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} - 2 e^{{\color{red}{\left(- t\right)}}}$$

따라서,

$$\int{\left(t^{2} - 1\right) e^{- t} d t} = - 2 t e^{- t} - \left(t^{2} - 1\right) e^{- t} - 2 e^{- t}$$

간단히 하시오:

$$\int{\left(t^{2} - 1\right) e^{- t} d t} = - \left(t + 1\right)^{2} e^{- t}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\left(t^{2} - 1\right) e^{- t} d t} = - \left(t + 1\right)^{2} e^{- t}+C$$

$$$\int \left(t^{2} - 1\right) e^{- t}\, dt = - \left(t + 1\right)^{2} e^{- t} + C$$$A