$$$\tan{\left(4 x \right)} \csc{\left(4 x \right)}$$$의 적분

$$$\int \tan{\left(4 x \right)} \csc{\left(4 x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

피적분함수를 다시 쓰십시오:

$${\color{red}{\int{\tan{\left(4 x \right)} \csc{\left(4 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(4 x \right)}} d x}}}$$

$$$\cos\left(4 x\right)=\sin\left(4 x + \frac{\pi}{2}\right)$$$ 공식을 사용하여 코사인을 사인의 함수로 나타낸 다음, $$$\sin\left(4 x\right)=2\sin\left(\frac{4 x}{2}\right)\cos\left(\frac{4 x}{2}\right)$$$ 배각공식을 사용하여 사인을 다시 쓰십시오.:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(4 x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}} d x}}}$$

분자와 분모에 $$$\sec^2\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)$$$를 곱합니다.:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}} d x}}}$$

$$$u=\tan{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\tan{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}\right)^{\prime }dx = 2 \sec^{2}{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sec^{2}{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)} dx = \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{1}{4 u} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{4}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{1}{4 u} d u}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{4}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$\frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{4} = \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{4}$$

다음 $$$u=\tan{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}$$$을 기억하라:

$$\frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{4} = \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}}}\right| \right)}}{4}$$

따라서,

$$\int{\tan{\left(4 x \right)} \csc{\left(4 x \right)} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{4}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\tan{\left(4 x \right)} \csc{\left(4 x \right)} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{4}+C$$

$$$\int \tan{\left(4 x \right)} \csc{\left(4 x \right)}\, dx = \frac{\ln\left(\left|{\tan{\left(2 x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right|\right)}{4} + C$$$A