$$$\cot^{3}{\left(\frac{x}{5} \right)} \csc^{3}{\left(\frac{x}{5} \right)}$$$의 적분

$$$\int \cot^{3}{\left(\frac{x}{5} \right)} \csc^{3}{\left(\frac{x}{5} \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\frac{x}{5}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\frac{x}{5}\right)^{\prime }dx = \frac{dx}{5}$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = 5 du$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\cot^{3}{\left(\frac{x}{5} \right)} \csc^{3}{\left(\frac{x}{5} \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{5 \cot^{3}{\left(u \right)} \csc^{3}{\left(u \right)} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=5$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cot^{3}{\left(u \right)} \csc^{3}{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{5 \cot^{3}{\left(u \right)} \csc^{3}{\left(u \right)} d u}}} = {\color{red}{\left(5 \int{\cot^{3}{\left(u \right)} \csc^{3}{\left(u \right)} d u}\right)}}$$

코탄젠트를 하나 분리하고, 나머지는 코시컨트로 나타내시오. 공식 $$$\cot^2\left( u \right)=\csc^2\left( u \right)-1$$$를 사용하시오.:

$$5 {\color{red}{\int{\cot^{3}{\left(u \right)} \csc^{3}{\left(u \right)} d u}}} = 5 {\color{red}{\int{\left(\csc^{2}{\left(u \right)} - 1\right) \cot{\left(u \right)} \csc^{3}{\left(u \right)} d u}}}$$

$$$v=\csc{\left(u \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(\csc{\left(u \right)}\right)^{\prime }du = - \cot{\left(u \right)} \csc{\left(u \right)} du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\cot{\left(u \right)} \csc{\left(u \right)} du = - dv$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$5 {\color{red}{\int{\left(\csc^{2}{\left(u \right)} - 1\right) \cot{\left(u \right)} \csc^{3}{\left(u \right)} d u}}} = 5 {\color{red}{\int{\left(- v^{2} \left(v^{2} - 1\right)\right)d v}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(v \right)} = v^{2} \left(v^{2} - 1\right)$$$에 적용하세요:

$$5 {\color{red}{\int{\left(- v^{2} \left(v^{2} - 1\right)\right)d v}}} = 5 {\color{red}{\left(- \int{v^{2} \left(v^{2} - 1\right) d v}\right)}}$$

Expand the expression:

$$- 5 {\color{red}{\int{v^{2} \left(v^{2} - 1\right) d v}}} = - 5 {\color{red}{\int{\left(v^{4} - v^{2}\right)d v}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$- 5 {\color{red}{\int{\left(v^{4} - v^{2}\right)d v}}} = - 5 {\color{red}{\left(- \int{v^{2} d v} + \int{v^{4} d v}\right)}}$$

멱법칙($$$\int v^{n}\, dv = \frac{v^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=4$$$에 적용합니다:

$$5 \int{v^{2} d v} - 5 {\color{red}{\int{v^{4} d v}}}=5 \int{v^{2} d v} - 5 {\color{red}{\frac{v^{1 + 4}}{1 + 4}}}=5 \int{v^{2} d v} - 5 {\color{red}{\left(\frac{v^{5}}{5}\right)}}$$

멱법칙($$$\int v^{n}\, dv = \frac{v^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=2$$$에 적용합니다:

$$- v^{5} + 5 {\color{red}{\int{v^{2} d v}}}=- v^{5} + 5 {\color{red}{\frac{v^{1 + 2}}{1 + 2}}}=- v^{5} + 5 {\color{red}{\left(\frac{v^{3}}{3}\right)}}$$

다음 $$$v=\csc{\left(u \right)}$$$을 기억하라:

$$\frac{5 {\color{red}{v}}^{3}}{3} - {\color{red}{v}}^{5} = \frac{5 {\color{red}{\csc{\left(u \right)}}}^{3}}{3} - {\color{red}{\csc{\left(u \right)}}}^{5}$$

다음 $$$u=\frac{x}{5}$$$을 기억하라:

$$\frac{5 \csc^{3}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{3} - \csc^{5}{\left({\color{red}{u}} \right)} = \frac{5 \csc^{3}{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{5}\right)}} \right)}}{3} - \csc^{5}{\left({\color{red}{\left(\frac{x}{5}\right)}} \right)}$$

따라서,

$$\int{\cot^{3}{\left(\frac{x}{5} \right)} \csc^{3}{\left(\frac{x}{5} \right)} d x} = - \csc^{5}{\left(\frac{x}{5} \right)} + \frac{5 \csc^{3}{\left(\frac{x}{5} \right)}}{3}$$

간단히 하시오:

$$\int{\cot^{3}{\left(\frac{x}{5} \right)} \csc^{3}{\left(\frac{x}{5} \right)} d x} = \left(\frac{5}{3} - \csc^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}\right) \csc^{3}{\left(\frac{x}{5} \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\cot^{3}{\left(\frac{x}{5} \right)} \csc^{3}{\left(\frac{x}{5} \right)} d x} = \left(\frac{5}{3} - \csc^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}\right) \csc^{3}{\left(\frac{x}{5} \right)}+C$$

$$$\int \cot^{3}{\left(\frac{x}{5} \right)} \csc^{3}{\left(\frac{x}{5} \right)}\, dx = \left(\frac{5}{3} - \csc^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}\right) \csc^{3}{\left(\frac{x}{5} \right)} + C$$$A