$$$\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(4 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}$$$의 적분

$$$\int \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(4 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

공식 $$$\cos\left(\alpha \right)\cos\left(\beta \right)=\frac{1}{2} \cos\left(\alpha-\beta \right)+\frac{1}{2} \cos\left(\alpha+\beta \right)$$$에 $$$\alpha=2 x$$$와 $$$\beta=4 x$$$를 대입하여 $$$\cos\left(2 x \right)\cos\left(4 x \right)$$$을(를) 다시 쓰십시오.:

$${\color{red}{\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(4 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\right) \cos{\left(6 x \right)} d x}}}$$

식을 전개하시오:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(6 x \right)}}{2}\right) \cos{\left(6 x \right)} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{2}\right)d x}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} + \cos^{2}{\left(6 x \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}{2}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} + \cos^{2}{\left(6 x \right)}\right)d x}}{2}\right)}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} + \cos^{2}{\left(6 x \right)}\right)d x}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x} + \int{\cos^{2}{\left(6 x \right)} d x}\right)}}}{2}$$

$$$u=6 x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(6 x\right)^{\prime }dx = 6 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{6}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\cos^{2}{\left(6 x \right)} d x}}}}{2} = \frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{6} d u}}}}{2}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{6}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cos^{2}{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos^{2}{\left(u \right)}}{6} d u}}}}{2} = \frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos^{2}{\left(u \right)} d u}}{6}\right)}}}{2}$$

멱 감소 공식 $$$\cos^{2}{\left(\alpha \right)} = \frac{\cos{\left(2 \alpha \right)}}{2} + \frac{1}{2}$$$를 $$$\alpha= u $$$에 적용하세요:

$$\frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\cos^{2}{\left(u \right)} d u}}}}{12} = \frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d u}}}}{12}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(2 u \right)} + 1$$$에 적용하세요:

$$\frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(2 u \right)}}{2} + \frac{1}{2}\right)d u}}}}{12} = \frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(2 u \right)} + 1\right)d u}}{2}\right)}}}{12}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$\frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\left(\cos{\left(2 u \right)} + 1\right)d u}}}}{24} = \frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(\int{1 d u} + \int{\cos{\left(2 u \right)} d u}\right)}}}{24}$$

상수 법칙 $$$\int c\, du = c u$$$을 $$$c=1$$$에 적용하십시오:

$$\frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x}}{2} + \frac{\int{\cos{\left(2 u \right)} d u}}{24} + \frac{{\color{red}{\int{1 d u}}}}{24} = \frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x}}{2} + \frac{\int{\cos{\left(2 u \right)} d u}}{24} + \frac{{\color{red}{u}}}{24}$$

$$$v=2 u$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(2 u\right)^{\prime }du = 2 du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$du = \frac{dv}{2}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{u}{24} + \frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(2 u \right)} d u}}}}{24} = \frac{u}{24} + \frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{2} d v}}}}{24}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(v \right)} = \cos{\left(v \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{u}{24} + \frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(v \right)}}{2} d v}}}}{24} = \frac{u}{24} + \frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}{2}\right)}}}{24}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(v \right)} d v} = \sin{\left(v \right)}$$$:

$$\frac{u}{24} + \frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(v \right)} d v}}}}{48} = \frac{u}{24} + \frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x}}{2} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(v \right)}}}}{48}$$

다음 $$$v=2 u$$$을 기억하라:

$$\frac{u}{24} + \frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x}}{2} + \frac{\sin{\left({\color{red}{v}} \right)}}{48} = \frac{u}{24} + \frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x}}{2} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(2 u\right)}} \right)}}{48}$$

다음 $$$u=6 x$$$을 기억하라:

$$\frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x}}{2} + \frac{\sin{\left(2 {\color{red}{u}} \right)}}{48} + \frac{{\color{red}{u}}}{24} = \frac{\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x}}{2} + \frac{\sin{\left(2 {\color{red}{\left(6 x\right)}} \right)}}{48} + \frac{{\color{red}{\left(6 x\right)}}}{24}$$

공식 $$$\cos\left(\alpha \right)\cos\left(\beta \right)=\frac{1}{2} \cos\left(\alpha-\beta \right)+\frac{1}{2} \cos\left(\alpha+\beta \right)$$$을 사용하여 $$$\alpha=2 x$$$ 및 $$$\beta=6 x$$$에 대해 피적분함수를 다시 쓰십시오.:

$$\frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x}}}}{2} = \frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48} + \frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\right)d x}}}}{2}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(4 x \right)} + \cos{\left(8 x \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48} + \frac{{\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(4 x \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(8 x \right)}}{2}\right)d x}}}}{2} = \frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(4 x \right)} + \cos{\left(8 x \right)}\right)d x}}{2}\right)}}}{2}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$\frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48} + \frac{{\color{red}{\int{\left(\cos{\left(4 x \right)} + \cos{\left(8 x \right)}\right)d x}}}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48} + \frac{{\color{red}{\left(\int{\cos{\left(4 x \right)} d x} + \int{\cos{\left(8 x \right)} d x}\right)}}}{4}$$

$$$u=4 x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(4 x\right)^{\prime }dx = 4 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{4}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$\frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48} + \frac{\int{\cos{\left(8 x \right)} d x}}{4} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(4 x \right)} d x}}}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48} + \frac{\int{\cos{\left(8 x \right)} d x}}{4} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{4} d u}}}}{4}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{4}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48} + \frac{\int{\cos{\left(8 x \right)} d x}}{4} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{4} d u}}}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48} + \frac{\int{\cos{\left(8 x \right)} d x}}{4} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{4}\right)}}}{4}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48} + \frac{\int{\cos{\left(8 x \right)} d x}}{4} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{16} = \frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48} + \frac{\int{\cos{\left(8 x \right)} d x}}{4} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{16}$$

다음 $$$u=4 x$$$을 기억하라:

$$\frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48} + \frac{\int{\cos{\left(8 x \right)} d x}}{4} + \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{16} = \frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48} + \frac{\int{\cos{\left(8 x \right)} d x}}{4} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(4 x\right)}} \right)}}{16}$$

$$$u=8 x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(8 x\right)^{\prime }dx = 8 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{8}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(8 x \right)} d x}}}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{8} d u}}}}{4}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{8}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{8} d u}}}}{4} = \frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{8}\right)}}}{4}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{32} = \frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{32}$$

다음 $$$u=8 x$$$을 기억하라:

$$\frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48} + \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{32} = \frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(8 x\right)}} \right)}}{32}$$

따라서,

$$\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(4 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x} = \frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{32} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(4 x \right)} \cos{\left(6 x \right)} d x} = \frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{32} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48}+C$$

$$$\int \cos{\left(2 x \right)} \cos{\left(4 x \right)} \cos{\left(6 x \right)}\, dx = \left(\frac{x}{4} + \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{16} + \frac{\sin{\left(8 x \right)}}{32} + \frac{\sin{\left(12 x \right)}}{48}\right) + C$$$A