$$$t$$$에 대한 $$$\cos{\left(\omega t^{2} \right)}$$$의 적분

$$$\int \cos{\left(\omega t^{2} \right)}\, dt$$$을(를) 구하시오.

$$$u=\sqrt{\omega} t$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\sqrt{\omega} t\right)^{\prime }dt = \sqrt{\omega} dt$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dt = \frac{du}{\sqrt{\omega}}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$${\color{red}{\int{\cos{\left(\omega t^{2} \right)} d t}}} = {\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u^{2} \right)}}{\sqrt{\omega}} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{\sqrt{\omega}}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u^{2} \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u^{2} \right)}}{\sqrt{\omega}} d u}}} = {\color{red}{\frac{\int{\cos{\left(u^{2} \right)} d u}}{\sqrt{\omega}}}}$$

이 적분(프레넬 코사인 적분)은 닫힌형 표현이 없습니다:

$$\frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u^{2} \right)} d u}}}}{\sqrt{\omega}} = \frac{{\color{red}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} C\left(\frac{\sqrt{2} u}{\sqrt{\pi}}\right)}{2}\right)}}}{\sqrt{\omega}}$$

다음 $$$u=\sqrt{\omega} t$$$을 기억하라:

$$\frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} C\left(\frac{\sqrt{2} {\color{red}{u}}}{\sqrt{\pi}}\right)}{2 \sqrt{\omega}} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} C\left(\frac{\sqrt{2} {\color{red}{\sqrt{\omega} t}}}{\sqrt{\pi}}\right)}{2 \sqrt{\omega}}$$

따라서,

$$\int{\cos{\left(\omega t^{2} \right)} d t} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} C\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\omega} t}{\sqrt{\pi}}\right)}{2 \sqrt{\omega}}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\cos{\left(\omega t^{2} \right)} d t} = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} C\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\omega} t}{\sqrt{\pi}}\right)}{2 \sqrt{\omega}}+C$$

$$$\int \cos{\left(\omega t^{2} \right)}\, dt = \frac{\sqrt{2} \sqrt{\pi} C\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{\omega} t}{\sqrt{\pi}}\right)}{2 \sqrt{\omega}} + C$$$A