$$$\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$$의 적분

$$$\int \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$$$을(를) 구하시오.

분자와 분모에 사인을 한 번씩 곱하고, $$$\alpha=x$$$에 대해 $$$\sin^2\left(\alpha \right)=-\cos^2\left(\alpha \right)+1$$$ 공식을 사용하여 나머지는 모두 코사인으로 나타내세요:

$${\color{red}{\int{\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{1 - \cos^{2}{\left(x \right)}} d x}}}$$

$$$u=\cos{\left(x \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\cos{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx = - \sin{\left(x \right)} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sin{\left(x \right)} dx = - du$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$${\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(x \right)} \cos^{3}{\left(x \right)}}{1 - \cos^{2}{\left(x \right)}} d x}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{u^{3}}{1 - u^{2}}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{u^{3}}{1 - u^{2}}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{u^{3}}{1 - u^{2}}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{u^{3}}{1 - u^{2}} d u}\right)}}$$

분자의 차수가 분모의 차수보다 크거나 같으므로 다항식의 긴 나눗셈을 수행하십시오(단계는 »에서 볼 수 있습니다):

$$- {\color{red}{\int{\frac{u^{3}}{1 - u^{2}} d u}}} = - {\color{red}{\int{\left(- u + \frac{u}{1 - u^{2}}\right)d u}}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$- {\color{red}{\int{\left(- u + \frac{u}{1 - u^{2}}\right)d u}}} = - {\color{red}{\left(- \int{u d u} + \int{\frac{u}{1 - u^{2}} d u}\right)}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=1$$$에 적용합니다:

$$- \int{\frac{u}{1 - u^{2}} d u} + {\color{red}{\int{u d u}}}=- \int{\frac{u}{1 - u^{2}} d u} + {\color{red}{\frac{u^{1 + 1}}{1 + 1}}}=- \int{\frac{u}{1 - u^{2}} d u} + {\color{red}{\left(\frac{u^{2}}{2}\right)}}$$

$$$v=1 - u^{2}$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(1 - u^{2}\right)^{\prime }du = - 2 u du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$u du = - \frac{dv}{2}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$\frac{u^{2}}{2} - {\color{red}{\int{\frac{u}{1 - u^{2}} d u}}} = \frac{u^{2}}{2} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 v}\right)d v}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(v \right)}\, dv = c \int f{\left(v \right)}\, dv$$$을 $$$c=- \frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(v \right)} = \frac{1}{v}$$$에 적용하세요:

$$\frac{u^{2}}{2} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{2 v}\right)d v}}} = \frac{u^{2}}{2} - {\color{red}{\left(- \frac{\int{\frac{1}{v} d v}}{2}\right)}}$$

$$$\frac{1}{v}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$\frac{u^{2}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2} = \frac{u^{2}}{2} + \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{2}$$

다음 $$$v=1 - u^{2}$$$을 기억하라:

$$\frac{u^{2}}{2} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{2} = \frac{u^{2}}{2} + \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(1 - u^{2}\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

다음 $$$u=\cos{\left(x \right)}$$$을 기억하라:

$$\frac{\ln{\left(\left|{-1 + {\color{red}{u}}^{2}}\right| \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{u}}^{2}}{2} = \frac{\ln{\left(\left|{-1 + {\color{red}{\cos{\left(x \right)}}}^{2}}\right| \right)}}{2} + \frac{{\color{red}{\cos{\left(x \right)}}}^{2}}{2}$$

따라서,

$$\int{\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\cos^{2}{\left(x \right)} - 1}\right| \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}} d x} = \frac{\ln{\left(\left|{\cos^{2}{\left(x \right)} - 1}\right| \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}+C$$

$$$\int \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx = \left(\frac{\ln\left(\left|{\cos^{2}{\left(x \right)} - 1}\right|\right)}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(x \right)}}{2}\right) + C$$$A