$$$e^{9} \sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)}$$$의 적분

$$$\int e^{9} \sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=e^{9}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{e^{9} \sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)} d x}}} = {\color{red}{e^{9} \int{\sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)} d x}}}$$

$$$u=\sin{\left(7 x \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\sin{\left(7 x \right)}\right)^{\prime }dx = 7 \cos{\left(7 x \right)} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\cos{\left(7 x \right)} dx = \frac{du}{7}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$e^{9} {\color{red}{\int{\sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)} d x}}} = e^{9} {\color{red}{\int{\frac{u}{7} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{7}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = u$$$에 적용하세요:

$$e^{9} {\color{red}{\int{\frac{u}{7} d u}}} = e^{9} {\color{red}{\left(\frac{\int{u d u}}{7}\right)}}$$

멱법칙($$$\int u^{n}\, du = \frac{u^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=1$$$에 적용합니다:

$$\frac{e^{9} {\color{red}{\int{u d u}}}}{7}=\frac{e^{9} {\color{red}{\frac{u^{1 + 1}}{1 + 1}}}}{7}=\frac{e^{9} {\color{red}{\left(\frac{u^{2}}{2}\right)}}}{7}$$

다음 $$$u=\sin{\left(7 x \right)}$$$을 기억하라:

$$\frac{e^{9} {\color{red}{u}}^{2}}{14} = \frac{e^{9} {\color{red}{\sin{\left(7 x \right)}}}^{2}}{14}$$

따라서,

$$\int{e^{9} \sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)} d x} = \frac{e^{9} \sin^{2}{\left(7 x \right)}}{14}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{e^{9} \sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)} d x} = \frac{e^{9} \sin^{2}{\left(7 x \right)}}{14}+C$$

$$$\int e^{9} \sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)}\, dx = \frac{e^{9} \sin^{2}{\left(7 x \right)}}{14} + C$$$A