$$$\cos{\left(5 t \right)} \cos{\left(10 t \right)}$$$의 적분

$$$\int \cos{\left(5 t \right)} \cos{\left(10 t \right)}\, dt$$$을(를) 구하시오.

공식 $$$\cos\left(\alpha \right)\cos\left(\beta \right)=\frac{1}{2} \cos\left(\alpha-\beta \right)+\frac{1}{2} \cos\left(\alpha+\beta \right)$$$을 사용하여 $$$\alpha=5 t$$$ 및 $$$\beta=10 t$$$에 대해 피적분함수를 다시 쓰십시오.:

$${\color{red}{\int{\cos{\left(5 t \right)} \cos{\left(10 t \right)} d t}}} = {\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(5 t \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(15 t \right)}}{2}\right)d t}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(t \right)}\, dt = c \int f{\left(t \right)}\, dt$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(t \right)} = \cos{\left(5 t \right)} + \cos{\left(15 t \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(\frac{\cos{\left(5 t \right)}}{2} + \frac{\cos{\left(15 t \right)}}{2}\right)d t}}} = {\color{red}{\left(\frac{\int{\left(\cos{\left(5 t \right)} + \cos{\left(15 t \right)}\right)d t}}{2}\right)}}$$

각 항별로 적분하십시오:

$$\frac{{\color{red}{\int{\left(\cos{\left(5 t \right)} + \cos{\left(15 t \right)}\right)d t}}}}{2} = \frac{{\color{red}{\left(\int{\cos{\left(5 t \right)} d t} + \int{\cos{\left(15 t \right)} d t}\right)}}}{2}$$

$$$u=5 t$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(5 t\right)^{\prime }dt = 5 dt$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dt = \frac{du}{5}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\frac{\int{\cos{\left(15 t \right)} d t}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(5 t \right)} d t}}}}{2} = \frac{\int{\cos{\left(15 t \right)} d t}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{5} d u}}}}{2}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{5}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{\int{\cos{\left(15 t \right)} d t}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{5} d u}}}}{2} = \frac{\int{\cos{\left(15 t \right)} d t}}{2} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{5}\right)}}}{2}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{\int{\cos{\left(15 t \right)} d t}}{2} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{10} = \frac{\int{\cos{\left(15 t \right)} d t}}{2} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{10}$$

다음 $$$u=5 t$$$을 기억하라:

$$\frac{\int{\cos{\left(15 t \right)} d t}}{2} + \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{10} = \frac{\int{\cos{\left(15 t \right)} d t}}{2} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(5 t\right)}} \right)}}{10}$$

$$$u=15 t$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(15 t\right)^{\prime }dt = 15 dt$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dt = \frac{du}{15}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 됩니다.

$$\frac{\sin{\left(5 t \right)}}{10} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(15 t \right)} d t}}}}{2} = \frac{\sin{\left(5 t \right)}}{10} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{15} d u}}}}{2}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{15}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{\sin{\left(5 t \right)}}{10} + \frac{{\color{red}{\int{\frac{\cos{\left(u \right)}}{15} d u}}}}{2} = \frac{\sin{\left(5 t \right)}}{10} + \frac{{\color{red}{\left(\frac{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}{15}\right)}}}{2}$$

코사인의 적분은 $$$\int{\cos{\left(u \right)} d u} = \sin{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{\sin{\left(5 t \right)}}{10} + \frac{{\color{red}{\int{\cos{\left(u \right)} d u}}}}{30} = \frac{\sin{\left(5 t \right)}}{10} + \frac{{\color{red}{\sin{\left(u \right)}}}}{30}$$

다음 $$$u=15 t$$$을 기억하라:

$$\frac{\sin{\left(5 t \right)}}{10} + \frac{\sin{\left({\color{red}{u}} \right)}}{30} = \frac{\sin{\left(5 t \right)}}{10} + \frac{\sin{\left({\color{red}{\left(15 t\right)}} \right)}}{30}$$

따라서,

$$\int{\cos{\left(5 t \right)} \cos{\left(10 t \right)} d t} = \frac{\sin{\left(5 t \right)}}{10} + \frac{\sin{\left(15 t \right)}}{30}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\cos{\left(5 t \right)} \cos{\left(10 t \right)} d t} = \frac{\sin{\left(5 t \right)}}{10} + \frac{\sin{\left(15 t \right)}}{30}+C$$

$$$\int \cos{\left(5 t \right)} \cos{\left(10 t \right)}\, dt = \left(\frac{\sin{\left(5 t \right)}}{10} + \frac{\sin{\left(15 t \right)}}{30}\right) + C$$$A