$$$\cos{\left(\frac{2 \ln\left(x\right)}{3} \right)}$$$의 적분

$$$\int \cos{\left(\frac{2 \ln\left(x\right)}{3} \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

적분 $$$\int{\cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=\cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)}$$$와 $$$\operatorname{dv}=dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(\cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)}\right)^{\prime }dx=- \frac{2 \sin{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)}}{3 x} dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$${\color{red}{\int{\cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} d x}}}={\color{red}{\left(\cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} \cdot x-\int{x \cdot \left(- \frac{2 \sin{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)}}{3 x}\right) d x}\right)}}={\color{red}{\left(x \cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} - \int{\left(- \frac{2 \sin{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)}}{3}\right)d x}\right)}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=- \frac{2}{3}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)}$$$에 적용하세요:

$$x \cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} - {\color{red}{\int{\left(- \frac{2 \sin{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)}}{3}\right)d x}}} = x \cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} - {\color{red}{\left(- \frac{2 \int{\sin{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} d x}}{3}\right)}}$$

적분 $$$\int{\sin{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=\sin{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)}$$$와 $$$\operatorname{dv}=dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(\sin{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{2 \cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)}}{3 x} dx$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

따라서,

$$x \cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} + \frac{2 {\color{red}{\int{\sin{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} d x}}}}{3}=x \cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} + \frac{2 {\color{red}{\left(\sin{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{2 \cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)}}{3 x} d x}\right)}}}{3}=x \cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} + \frac{2 {\color{red}{\left(x \sin{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} - \int{\frac{2 \cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)}}{3} d x}\right)}}}{3}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{2}{3}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)}$$$에 적용하세요:

$$\frac{2 x \sin{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)}}{3} + x \cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} - \frac{2 {\color{red}{\int{\frac{2 \cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)}}{3} d x}}}}{3} = \frac{2 x \sin{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)}}{3} + x \cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} - \frac{2 {\color{red}{\left(\frac{2 \int{\cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} d x}}{3}\right)}}}{3}$$

우리는 이미 보았던 적분에 도달했습니다.

따라서 적분에 관한 다음과 같은 간단한 등식을 얻었습니다:

$$\int{\cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} d x} = \frac{2 x \sin{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)}}{3} + x \cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} - \frac{4 \int{\cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} d x}}{9}$$

이를 풀면, 다음을 얻는다

$$\int{\cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} d x} = \frac{3 x \left(2 \sin{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} + 3 \cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)}\right)}{13}$$

따라서,

$$\int{\cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} d x} = \frac{3 x \left(2 \sin{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} + 3 \cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)}\right)}{13}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} d x} = \frac{3 x \left(2 \sin{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)} + 3 \cos{\left(\frac{2 \ln{\left(x \right)}}{3} \right)}\right)}{13}+C$$

$$$\int \cos{\left(\frac{2 \ln\left(x\right)}{3} \right)}\, dx = \frac{3 x \left(2 \sin{\left(\frac{2 \ln\left(x\right)}{3} \right)} + 3 \cos{\left(\frac{2 \ln\left(x\right)}{3} \right)}\right)}{13} + C$$$A