$$$\operatorname{atan}{\left(x \right)}$$$의 적분

$$$\int \operatorname{atan}{\left(x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

적분 $$$\int{\operatorname{atan}{\left(x \right)} d x}$$$에 대해서는 부분적분법 $$$\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$$$을 사용하십시오.

$$$\operatorname{u}=\operatorname{atan}{\left(x \right)}$$$와 $$$\operatorname{dv}=dx$$$라고 하자.

그러면 $$$\operatorname{du}=\left(\operatorname{atan}{\left(x \right)}\right)^{\prime }dx=\frac{dx}{x^{2} + 1}$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음) 및 $$$\operatorname{v}=\int{1 d x}=x$$$ (»에서 풀이 과정을 볼 수 있음).

적분은 다음과 같이 됩니다.

$${\color{red}{\int{\operatorname{atan}{\left(x \right)} d x}}}={\color{red}{\left(\operatorname{atan}{\left(x \right)} \cdot x-\int{x \cdot \frac{1}{x^{2} + 1} d x}\right)}}={\color{red}{\left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \int{\frac{x}{x^{2} + 1} d x}\right)}}$$

$$$u=x^{2} + 1$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(x^{2} + 1\right)^{\prime }dx = 2 x dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$x dx = \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\frac{x}{x^{2} + 1} d x}}} = x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$에 적용하세요:

$$x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - {\color{red}{\int{\frac{1}{2 u} d u}}} = x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{u} d u}}{2}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}}}{2} = x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}}{2}$$

다음 $$$u=x^{2} + 1$$$을 기억하라:

$$x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)}}{2} = x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(x^{2} + 1\right)}}}\right| \right)}}{2}$$

따라서,

$$\int{\operatorname{atan}{\left(x \right)} d x} = x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\ln{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\operatorname{atan}{\left(x \right)} d x} = x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\ln{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}+C$$

$$$\int \operatorname{atan}{\left(x \right)}\, dx = \left(x \operatorname{atan}{\left(x \right)} - \frac{\ln\left(x^{2} + 1\right)}{2}\right) + C$$$A