$$$4 x^{3} - \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}}$$$의 적분

$$$\int \left(4 x^{3} - \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)\, dx$$$을(를) 구하시오.

각 항별로 적분하십시오:

$${\color{red}{\int{\left(4 x^{3} - \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)d x}}} = {\color{red}{\left(\int{4 x^{3} d x} - \int{\frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}} d x}\right)}}$$

$$$u=2 x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(2 x\right)^{\prime }dx = 2 dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{2}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\int{4 x^{3} d x} - {\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}} d x}}} = \int{4 x^{3} d x} - {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \cos{\left(u \right)}} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{2}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{\cos{\left(u \right)}}$$$에 적용하세요:

$$\int{4 x^{3} d x} - {\color{red}{\int{\frac{1}{2 \cos{\left(u \right)}} d u}}} = \int{4 x^{3} d x} - {\color{red}{\left(\frac{\int{\frac{1}{\cos{\left(u \right)}} d u}}{2}\right)}}$$

$$$\cos\left( u \right)=\sin\left( u + \frac{\pi}{2}\right)$$$ 공식을 사용하여 코사인을 사인의 함수로 나타낸 다음, $$$\sin\left( u \right)=2\sin\left(\frac{ u }{2}\right)\cos\left(\frac{ u }{2}\right)$$$ 배각공식을 사용하여 사인을 다시 쓰십시오.:

$$\int{4 x^{3} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{\cos{\left(u \right)}} d u}}}}{2} = \int{4 x^{3} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{2}$$

분자와 분모에 $$$\sec^2\left(\frac{ u }{2} + \frac{\pi}{4} \right)$$$를 곱합니다.:

$$\int{4 x^{3} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{2 \sin{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \cos{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{2} = \int{4 x^{3} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{2}$$

$$$v=\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$라 하자.

그러면 $$$dv=\left(\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}\right)^{\prime }du = \frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2} du$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} du = 2 dv$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$\int{4 x^{3} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{\sec^{2}{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}{2 \tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}} d u}}}}{2} = \int{4 x^{3} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2}$$

$$$\frac{1}{v}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{v} d v} = \ln{\left(\left|{v}\right| \right)}$$$:

$$\int{4 x^{3} d x} - \frac{{\color{red}{\int{\frac{1}{v} d v}}}}{2} = \int{4 x^{3} d x} - \frac{{\color{red}{\ln{\left(\left|{v}\right| \right)}}}}{2}$$

다음 $$$v=\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}$$$을 기억하라:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{v}}}\right| \right)}}{2} + \int{4 x^{3} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{{\color{red}{\tan{\left(\frac{u}{2} + \frac{\pi}{4} \right)}}}}\right| \right)}}{2} + \int{4 x^{3} d x}$$

다음 $$$u=2 x$$$을 기억하라:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\pi}{4} + \frac{{\color{red}{u}}}{2} \right)}}\right| \right)}}{2} + \int{4 x^{3} d x} = - \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(\frac{\pi}{4} + \frac{{\color{red}{\left(2 x\right)}}}{2} \right)}}\right| \right)}}{2} + \int{4 x^{3} d x}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=4$$$와 $$$f{\left(x \right)} = x^{3}$$$에 적용하세요:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{2} + {\color{red}{\int{4 x^{3} d x}}} = - \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{2} + {\color{red}{\left(4 \int{x^{3} d x}\right)}}$$

멱법칙($$$\int x^{n}\, dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$$ $$$\left(n \neq -1 \right)$$$)을 $$$n=3$$$에 적용합니다:

$$- \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{2} + 4 {\color{red}{\int{x^{3} d x}}}=- \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{2} + 4 {\color{red}{\frac{x^{1 + 3}}{1 + 3}}}=- \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{2} + 4 {\color{red}{\left(\frac{x^{4}}{4}\right)}}$$

따라서,

$$\int{\left(4 x^{3} - \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)d x} = x^{4} - \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{2}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\left(4 x^{3} - \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)d x} = x^{4} - \frac{\ln{\left(\left|{\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right| \right)}}{2}+C$$

$$$\int \left(4 x^{3} - \frac{1}{\cos{\left(2 x \right)}}\right)\, dx = \left(x^{4} - \frac{\ln\left(\left|{\tan{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}\right|\right)}{2}\right) + C$$$A