$$$\frac{4 t^{3}}{1 - t^{4}}$$$의 적분

$$$\int \frac{4 t^{3}}{1 - t^{4}}\, dt$$$을(를) 구하시오.

$$$u=1 - t^{4}$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(1 - t^{4}\right)^{\prime }dt = - 4 t^{3} dt$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$t^{3} dt = - \frac{du}{4}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$${\color{red}{\int{\frac{4 t^{3}}{1 - t^{4}} d t}}} = {\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=-1$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\left(- \frac{1}{u}\right)d u}}} = {\color{red}{\left(- \int{\frac{1}{u} d u}\right)}}$$

$$$\frac{1}{u}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u} d u} = \ln{\left(\left|{u}\right| \right)}$$$:

$$- {\color{red}{\int{\frac{1}{u} d u}}} = - {\color{red}{\ln{\left(\left|{u}\right| \right)}}}$$

다음 $$$u=1 - t^{4}$$$을 기억하라:

$$- \ln{\left(\left|{{\color{red}{u}}}\right| \right)} = - \ln{\left(\left|{{\color{red}{\left(1 - t^{4}\right)}}}\right| \right)}$$

따라서,

$$\int{\frac{4 t^{3}}{1 - t^{4}} d t} = - \ln{\left(\left|{t^{4} - 1}\right| \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{4 t^{3}}{1 - t^{4}} d t} = - \ln{\left(\left|{t^{4} - 1}\right| \right)}+C$$

$$$\int \frac{4 t^{3}}{1 - t^{4}}\, dt = - \ln\left(\left|{t^{4} - 1}\right|\right) + C$$$A