$$$4 \pi \sin{\left(\pi x \right)}$$$의 적분

$$$\int 4 \pi \sin{\left(\pi x \right)}\, dx$$$을(를) 구하시오.

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=4 \pi$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{4 \pi \sin{\left(\pi x \right)} d x}}} = {\color{red}{\left(4 \pi \int{\sin{\left(\pi x \right)} d x}\right)}}$$

$$$u=\pi x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\pi x\right)^{\prime }dx = \pi dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{du}{\pi}$$$임을 얻습니다.

따라서,

$$4 \pi {\color{red}{\int{\sin{\left(\pi x \right)} d x}}} = 4 \pi {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi} d u}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{1}{\pi}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \sin{\left(u \right)}$$$에 적용하세요:

$$4 \pi {\color{red}{\int{\frac{\sin{\left(u \right)}}{\pi} d u}}} = 4 \pi {\color{red}{\frac{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}{\pi}}}$$

사인 함수의 적분은 $$$\int{\sin{\left(u \right)} d u} = - \cos{\left(u \right)}$$$:

$$4 {\color{red}{\int{\sin{\left(u \right)} d u}}} = 4 {\color{red}{\left(- \cos{\left(u \right)}\right)}}$$

다음 $$$u=\pi x$$$을 기억하라:

$$- 4 \cos{\left({\color{red}{u}} \right)} = - 4 \cos{\left({\color{red}{\pi x}} \right)}$$

따라서,

$$\int{4 \pi \sin{\left(\pi x \right)} d x} = - 4 \cos{\left(\pi x \right)}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{4 \pi \sin{\left(\pi x \right)} d x} = - 4 \cos{\left(\pi x \right)}+C$$

$$$\int 4 \pi \sin{\left(\pi x \right)}\, dx = - 4 \cos{\left(\pi x \right)} + C$$$A