$$$\frac{4}{15 x^{2} + 27}$$$의 적분

$$$\int \frac{4}{15 x^{2} + 27}\, dx$$$을(를) 구하시오.

피적분함수를 단순화하세요.:

$${\color{red}{\int{\frac{4}{15 x^{2} + 27} d x}}} = {\color{red}{\int{\frac{4}{3 \left(5 x^{2} + 9\right)} d x}}}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(x \right)}\, dx = c \int f{\left(x \right)}\, dx$$$을 $$$c=\frac{4}{3}$$$와 $$$f{\left(x \right)} = \frac{1}{5 x^{2} + 9}$$$에 적용하세요:

$${\color{red}{\int{\frac{4}{3 \left(5 x^{2} + 9\right)} d x}}} = {\color{red}{\left(\frac{4 \int{\frac{1}{5 x^{2} + 9} d x}}{3}\right)}}$$

$$$u=\frac{\sqrt{5}}{3} x$$$라 하자.

그러면 $$$du=\left(\frac{\sqrt{5}}{3} x\right)^{\prime }dx = \frac{\sqrt{5}}{3} dx$$$ (단계는 »에서 볼 수 있습니다), 그리고 $$$dx = \frac{3 \sqrt{5} du}{5}$$$임을 얻습니다.

적분은 다음과 같이 다시 쓸 수 있습니다.

$$\frac{4 {\color{red}{\int{\frac{1}{5 x^{2} + 9} d x}}}}{3} = \frac{4 {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{5}}{15 \left(u^{2} + 1\right)} d u}}}}{3}$$

상수배 법칙 $$$\int c f{\left(u \right)}\, du = c \int f{\left(u \right)}\, du$$$을 $$$c=\frac{\sqrt{5}}{15}$$$와 $$$f{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2} + 1}$$$에 적용하세요:

$$\frac{4 {\color{red}{\int{\frac{\sqrt{5}}{15 \left(u^{2} + 1\right)} d u}}}}{3} = \frac{4 {\color{red}{\left(\frac{\sqrt{5} \int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}{15}\right)}}}{3}$$

$$$\frac{1}{u^{2} + 1}$$$의 적분은 $$$\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u} = \operatorname{atan}{\left(u \right)}$$$:

$$\frac{4 \sqrt{5} {\color{red}{\int{\frac{1}{u^{2} + 1} d u}}}}{45} = \frac{4 \sqrt{5} {\color{red}{\operatorname{atan}{\left(u \right)}}}}{45}$$

다음 $$$u=\frac{\sqrt{5}}{3} x$$$을 기억하라:

$$\frac{4 \sqrt{5} \operatorname{atan}{\left({\color{red}{u}} \right)}}{45} = \frac{4 \sqrt{5} \operatorname{atan}{\left({\color{red}{\frac{\sqrt{5}}{3} x}} \right)}}{45}$$

따라서,

$$\int{\frac{4}{15 x^{2} + 27} d x} = \frac{4 \sqrt{5} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{3} \right)}}{45}$$

적분 상수를 추가하세요:

$$\int{\frac{4}{15 x^{2} + 27} d x} = \frac{4 \sqrt{5} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{3} \right)}}{45}+C$$

$$$\int \frac{4}{15 x^{2} + 27}\, dx = \frac{4 \sqrt{5} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{3} \right)}}{45} + C$$$A